Cho hình chóp tam giác S.ABC. Gọi M là trung điểm của SB, N thuộc cạnh SC sao cho NS = 2NC, P thuộc cạnh SA sao cho PA = 2PS. Gọi V₁, V₂ lần lượt là thể tích của các khối tứ diện BMNP và SABC. Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.$

Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:

a) Một cách tuỳ ý?

b) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?

Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ $\overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {ME} ,$$\overrightarrow {MF} ,$ $\overrightarrow {MO}$ là gì?

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}$ trên khoảng (0; +∞).

Cho phương trình $\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = -x² và y = x – 2.

Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O; R) (B và C là 2 tiếp điểm).

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AO ⊥ BC tại H.

b) Vẽ đường kính BD. Đường thẳng qua O và vuông góc với AD cắt tia BC tại E. Chứng minh: DC // OA.