Tính \(x = \sqrt[3]{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }}\).

Lời giải

\(x = \sqrt[3]{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }}\)

\( \Leftrightarrow {x^3} = 2 - \sqrt 3 + 2 + \sqrt 3 + 3\sqrt[3]{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}\left( {\sqrt[3]{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^3} = 4 + 3\sqrt[3]{1}x\)

Û x³ − 3x − 4 = 0

Với phương trình bậc 3 nghiệm xấu ta có thể sử dụng phương pháp Cardano.

Đặt \(x = a + \frac{1}{a}\;\left( {a \ne 0} \right)\)

Khi đó: x³ − 3x − 4 = 0

\( \Leftrightarrow {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^3} - 3\left( {a + \frac{1}{a}} \right) - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} - 4 = 0\)

Û a⁶ − 4a³ + 1 = 0

Û (a³ − 2)² = 3

\( \Rightarrow {a^3} = 2 \pm \sqrt 3 \Rightarrow a = \sqrt[3]{{2 \pm \sqrt 3 }}\)

\[ \Rightarrow x = \sqrt[3]{{2 \pm \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{2 \pm \sqrt 3 }}}} = \sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }}}}\].

Vậy \[x = \sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }}}}\].