Tìm công thức hàm số bậc hai, biết:

a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm A(1; −3), B(0; −2), C(2; −10).

b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −16 và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là −2.

Lời giải

Hàm số bậc hai có công thức tổng quát: y = ax² + bx + c (a ¹ 0).

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; −3) nên:

−3 = a.1² + b.1 + c hay a + b + c = −3  (1)

Đồ thị hàm số đi qua điểm B(0; −2) nên:

−2 = a.0² + b.0 + c hay c = −2

Đồ thị hàm số đi qua điểm C(2; −10) nên:

−10 = a.2² + b.2 + c hay 4a + 2b + c = −10    (2).

Thay c = −2 vào (1) ta được: a + b − 2 = −3 Û a + b = −1 Û a = −1 − b (3)

Thay c = −2 vào (2) ta được: 4a + 2b − 2 = −10 Û 4a + 2b = −8 Û 2a + b = −4 (4)

Thay (3) vào (4) ta được:

2.(−1 − b) + b = −4 Û −2 − 2b + b = −4 Û b = 2.

Thay b = 2 vào (3) ta được: a = −1 − 2 = −3 (thỏa mãn).

Vậy công thức hàm số là y = −3x² + 2x − 2.

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −16 nên c = −16

Khi đó, công thức hàm số là f (x) = ax² + bx − 16

Một trong hai giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành có hoành độ bằng −2 nên ta có a.(−2)² + b.(−2) − 16 = 0 hay 2a − b − 8 = 0 (*)

Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 3 nên \( - \frac{b}{{2a}} = 3\) hay b = −6a

Thay b = −6a vào (*) ta có: 2a − (−6a) − 8 = 0 Û 8a = 8 Û a = 1

Suy ra: b = (−6) . 1 = −6

Vậy công thức hàm số là y = x² − 6x − 16.