Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \sqrt x = 2y\\{y^2} + \sqrt y = 2x\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y) ¹ (0; 0)?

Lời giải

Điều kiện: x, y ³ 0. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:

\(\left( {{x^2} + \sqrt x } \right) - \left( {{y^2} + \sqrt y } \right) = 2y - 2x\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left[ {\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)} \right] = 0\)

Vì \(\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x + y} \right) + 1 + 2\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) > 0\) nên phương trình đã cho tương đương với: x = y.

Thay x = y vào phương trình \({x^2} + \sqrt x = 2y\) ta được \({x^2} + \sqrt x = 2x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + \sqrt x = 0\)

Xem phương trình trên là phương trình bậc 5 ẩn là \(\sqrt x \) suy ra

\[\left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0 \Rightarrow x = y = 0\\\sqrt x = 1 \Rightarrow x = y = 1\\\sqrt x = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \Rightarrow x = y = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\\\sqrt x = \frac{{ - \sqrt 5 - 1}}{2}\;\;\;\left( L \right)\end{array} \right.\]

Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: \(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {0;\;0} \right),\;\left( {1;\;1} \right),\;\left( {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};\;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)} \right\}\).

Suy ra có hai cặp nghiệm thỏa mãn đề bài.