Cho \[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\]. Tính x + y.

Lời giải

Ta có: \[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\]

\( \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\)

\( \Rightarrow y + \sqrt {{y^2} + 1} = \sqrt {{x^2} + 1} - x\)

\( \Leftrightarrow x + y = \sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{y^2} + 1} \) (1)

Tương tự, ta có:

\( \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\)

\[ \Rightarrow x + \sqrt {{x^2} + 1} = \sqrt {{y^2} + 1} - y\]

\[ \Leftrightarrow x + y = \sqrt {{y^2} + 1} - \sqrt {{x^2} + 1} \] (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) thì x + y = 0

Vậy giá trị của biểu thức x + y là 0.