Cho 2 số thực x, y thỏa mãn \[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 10x⁴ + 8y⁴ − 15xy + 6x² +5y² + 2017.

Lời giải

Ta có: \[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\]

\( \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\)

\( \Rightarrow y + \sqrt {{y^2} + 1} = \sqrt {{x^2} + 1} - x\)

\( \Leftrightarrow x + y = \sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{y^2} + 1} \) (1)

Tương tự, ta có:

\( \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = \left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\)

\[ \Rightarrow x + \sqrt {{x^2} + 1} = \sqrt {{y^2} + 1} - y\]

\[ \Leftrightarrow x + y = \sqrt {{y^2} + 1} - \sqrt {{x^2} + 1} \] (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) thì x + y = 0

Þ y = −x

Thay vào biểu thức M ta được:

M = 10x⁴ + 8(−x)⁴ − 15x(−x) + 6x² +5(−x)² + 2017

= 18x⁴ + 26x² + 2017 ³ 2017

Dấu nằng xảy ra khi x = 0 Þ y = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 2017 khi x = y = 0.