Câu hỏi:
25/07/2023 124
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Bổ đề: Với a, b > 0 thì a3 + b3 ³ ab(a + b)
BĐT này đúng vì tương đương với (a − b)2(a + b) ³ 0
Do đó, thực hiện tương tự với bộ (b3, c3); (c3, a3) ta có:
2(a3 + b3 + c3) ³ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
Ta có: (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
(a + b + c)(a2 + b2 + c2) £ a3 + b3 + c3 + 2(a3 + b3 + c3) = 3(a3 + b3 + c3)
Vì a + b + c = 1 nên điều trên tương đương với
a2 + b2 + c2 £ 3(a3 + b3 + c3)
Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\)
Vậy a2 + b2 + c2 £ 3(a3 + b3 + c3) (đpcm).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 5 và tổng 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm công thức của số hạng tổng quát un.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,740
Câu 2:
Trong mặt phẳng Oxy cho A(−2m; − m), B(2m; m). Với giá trị nào của m thì đường thẳng AB đi qua O?
Xem đáp án »
12/07/2024
5,199
Câu 3:
Tìm m để phương trình log2 x + log x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1).
Xem đáp án »
13/07/2024
3,636
Câu 4:
Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5?
Xem đáp án »
13/07/2024
3,397
Câu 5:
Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng:
a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc.
b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].
Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng:
a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc.
b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].
Xem đáp án »
13/07/2024
2,793
Câu 6:
Hình chiếu bằng của hình lăng trụ tam giác đều là hình gì nếu mặt đáy song song với mặt phẳng chiếu bằng bao nhiêu?
Xem đáp án »
11/07/2024
2,669
Câu 7:
Chứng minh: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} ,\;\forall a,\;b,\;c,\;d \in \mathbb{R}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
2,181
về câu hỏi!