Phân tích thành nhân tử:

a) A = ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a)

b) B = a(b² − c²) + b(c² − a²) + c(a² − b²)

c) C = (a + b + c)³ − a³ − b³ − c³

Lời giải

a) A = ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a)

= ab(a − b) + b²c − bc² + c²a − a²c

= ab(a − b) + c²(a − b) − c(a² − b²)

= ab(a − b) + c²(a − b) − c(a − b)(a + b)

= (a − b)[ab + c² − c(a + b)]

= (a − b)(ab + c² − ac − bc)

= (a − b)[a(b − c) − c(b − c)]

= (a − b)(b − c)(a − c).

b) B = a(b² − c²) + b(c² − a²) + c(a² − b²)

= ab² − ac² + bc² − a²b + c(a − b)(a + b)

= −ab(a − b) − c²(a − b) + c(a − b)(a + b)

= (a − b)[−ab − c² + c(a + b)]

= (b − a)[ab + c² − c(a + b)]

= (b − a)(ab + c² − ac − bc)

= (b − a)[a(b − c) − c(b − c)]

= (b − a)(b − c)(a − c).

c) C = (a + b + c)³ − a³ − b³ − c³

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a) + 6abc − a³ − b³ − c³

= 3ab(a + b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a) + 6abc

= 3(a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc² + 2abc)

= 3[ab(a + b) + bc(a + b) + c²(a + b) + ac(a + b)]

= 3(a + b)(ab + bc + c² + ac)

= 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)]

= 3(a + b)(a + c)(b + c).