Câu hỏi:
25/07/2023 75
Cho a, b, c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\[\frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{a + b + c}}{4}\].
Cho a, b, c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\[\frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{a + b + c}}{4}\].
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có: \(b + c + 2a = \left( {a + b} \right) + \left( {a + c} \right) \ge 2\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \)
\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) \le \frac{{{{\left( {a + b + a + c} \right)}^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b + a + c}} \le \frac{{a + b + a + c}}{{4\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b + a + c}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\)
\[ \Rightarrow \frac{{bc}}{{b + c + 2a}} \le \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\]
Tương tự ta có:
• \[\frac{{ca}}{{c + a + 2b}} \le \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\]
• \[\frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\]
Suy ra \(VT = \frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}}\)
\( \le \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right) + \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{a + b}}} \right) + \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{a + b}}\left( {bc + ac} \right) + \frac{1}{{a + c}}\left( {bc + ab} \right) + \frac{1}{{b + c}}\left( {ac + ab} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{a + b}}\,.\,c\left( {b + a} \right) + \frac{1}{{a + c}}\,.\,b\left( {c + a} \right) + \frac{1}{{b + c}}\,.\,a\left( {c + b} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{4}\left( {c + b + a} \right) = \frac{{a + b + c}}{4} = VP\).
Vậy \[\frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{a + b + c}}{4}\] (đpcm).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 5 và tổng 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm công thức của số hạng tổng quát un.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,740
Câu 2:
Trong mặt phẳng Oxy cho A(−2m; − m), B(2m; m). Với giá trị nào của m thì đường thẳng AB đi qua O?
Xem đáp án »
12/07/2024
5,200
Câu 3:
Tìm m để phương trình log2 x + log x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1).
Xem đáp án »
13/07/2024
3,636
Câu 4:
Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5?
Xem đáp án »
13/07/2024
3,397
Câu 5:
Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng:
a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc.
b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].
Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng:
a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc.
b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].
Xem đáp án »
13/07/2024
2,793
Câu 6:
Hình chiếu bằng của hình lăng trụ tam giác đều là hình gì nếu mặt đáy song song với mặt phẳng chiếu bằng bao nhiêu?
Xem đáp án »
11/07/2024
2,670
Câu 7:
Chứng minh: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} ,\;\forall a,\;b,\;c,\;d \in \mathbb{R}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
2,181
về câu hỏi!