Câu hỏi:
12/07/2024 1,635
Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của: \[P = \frac{{ab}}{{\sqrt {ab + 2c} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {bc + 2a} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {ca + 2b} }}\].
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{{ab}}{{\sqrt {ab + 2c} }} = \frac{{ab}}{{\sqrt {ab + \left( {a + b + c} \right)c} }} = \frac{{ab}}{{\sqrt {ab + ac + bc + {c^2}} }}\)
\( = \frac{{ab}}{{\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ab}}{{a + c}} + \frac{{ab}}{{b + c}}} \right)\)
Tương tự, ta cũng có:
• \(\frac{{bc}}{{\sqrt {bc + 2a} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{bc}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{a + c}}} \right)\);
• \(\frac{{ca}}{{\sqrt {ca + 2b} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ca}}{{a + b}} + \frac{{ca}}{{b + c}}} \right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{ab + bc}}{{a + c}} + \frac{{bc + ca}}{{a + b}} + \frac{{ab + ca}}{{b + c}}} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{{b\left( {a + c} \right)}}{{a + c}} + \frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} + \frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}}} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) = \frac{1}{2}\,.\,2 = 1\).
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \frac{2}{3}\).
Vậy GTLN của P là 1 khi \(a = b = c = \frac{2}{3}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 5 và tổng 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm công thức của số hạng tổng quát un.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,740
Câu 2:
Trong mặt phẳng Oxy cho A(−2m; − m), B(2m; m). Với giá trị nào của m thì đường thẳng AB đi qua O?
Xem đáp án »
12/07/2024
5,199
Câu 3:
Tìm m để phương trình log2 x + log x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1).
Xem đáp án »
13/07/2024
3,636
Câu 4:
Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5?
Xem đáp án »
13/07/2024
3,397
Câu 5:
Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng:
a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc.
b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].
Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng:
a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc.
b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].
Xem đáp án »
13/07/2024
2,793
Câu 6:
Hình chiếu bằng của hình lăng trụ tam giác đều là hình gì nếu mặt đáy song song với mặt phẳng chiếu bằng bao nhiêu?
Xem đáp án »
11/07/2024
2,670
Câu 7:
Chứng minh: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} ,\;\forall a,\;b,\;c,\;d \in \mathbb{R}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
2,181
Bình luận
Nguyễn Minh Trí
09:16 - 18/04/2024
Tưởng nó ở dưới mẫu thì phải là dấu lớn hơn hoặc bằng chứ
Nguyễn Minh Trí
09:16 - 18/04/2024
Tưởng nó ở dưới mẫu thì phải là dấu lớn hơn hoặc bằng chứ
Nguyễn Minh Trí
09:16 - 18/04/2024
Tưởng nó ở dưới mẫu thì phải là dấu lớn hơn hoặc bằng chứ
Nguyễn Minh Trí
09:16 - 18/04/2024
Tưởng nó ở dưới mẫu thì phải là dấu lớn hơn hoặc bằng chứ
Nguyễn Minh Trí
09:16 - 18/04/2024
Tưởng nó ở dưới mẫu thì phải là dấu lớn hơn hoặc bằng chứ
về câu hỏi!