Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SC. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, BC sao cho \(\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BQ}}{{BC}} = \frac{1}{3}\). Chứng minh rằng MN song song với PQ.

Lời giải

• Ta có: B ∈ (BDK) và B ∈ (BCD) nên B là giao điểm của (BDK) và (BCD).

             D ∈ (BDK) và D ∈ (BCD) nên D là giao điểm của (BDK) và (BCD).

Do đó (BDK) ∩ (BCD) = BD.

• Ta có: M ∈ BK mà BK ⊂ (BDK) nên M ∈ (BDK);

             M ∈ AI mà AI ⊂ (AIJ) nên M ∈ (AIIJ)

Do đó M là giao điểm của (BDK) và (AIJ)

Tương tự ta cũng có N là giao điểm của (BDK) và (AIJ)

Suy ra (BDK) ∩ (AIJ) = MN.

• Ta có: I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD)

Lại có I ∈ (AIJ) nên I là giao điểm của (BCD) và (AIJ)

Tương tự ta cũng có J là giao điểm của (BCD) và (AIJ)

Suy ra (BCD) ∩ (AIJ) = IJ.

• Xét DBCD có I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD nên IJ là đường trung bình của tam giác

Do đó IJ // BD.

• Ta có: (BDK) ∩ (BCD) = BD;

             (BDK) ∩ (AIJ) = MN;

             (BCD) ∩ (AIJ) = IJ;

             IJ // BD.

Suy ra MN // BD.

Lời giải

Trong mặt phẳng (SAB), có: M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

Do đó MN là đường trung bình của tam giác

Suy ra MN // AB và MN = \(\frac{1}{2}\)AB.

Lại có AB // CD (do ABCD là hình thang) và AB = 2CD hay CD = \(\frac{1}{2}\)AB

Do đó MN // CD và MN = CD.

Suy ra MNCD là hình bình hành.

Vì vậy MD // NC.