Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA; I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SM, SN, SP, SQ.

a) Chứng minh rằng bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành.

 b) Chứng minh rằng IK // BC.

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC).

Lời giải

a)

Trong tam giác SMN, có: IJ // MN (tính chất đường trung bình) và IJ = \(\frac{1}{2}\)MN.

Trong tam giác SQP, có: LK // QP (tính chất đường trung bình) và LK = \(\frac{1}{2}\)PQ.

Mà QP // AC // MN (tính chất đường trung bình) và PQ = MN = \(\frac{1}{2}\)AC

Do đó IJ // LK  và IJ = LK

Vậy qua hai đường thẳng song song ta xác định được duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song đó hay I, J, K, L đồng phẳng.

Xét tứ giác IJKL có IJ // LK và IJ = LK nên IJKL là hình bình hành.

b)

Trong tam giác SMP có: IK // MP (tính chất đường trung bình tam giác SMP)

Mà MP // AD // BC (tính chất đường trung bình của hình thang)

Suy ra IK // BC.

c) Ta có: J ∈ SN mà SN ⊂ (SBC) nên J ∈ (SBC)

Lại có J ∈ (IJKL)

Do đó J là giao điểm của (IJKL) và (SBC).

Mặt khác: IK // BC (chứng minh trên);

                 IK ⊂ (IJKL);

                 BC ⊂ (SBC).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC) là đường thẳng đi qua J song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại B’ và C’.

Vậy (IJKL) ∩ (SBC) = B’C’.