Cho hình hộp ABCD.A’B’C D’. a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D). b) Gọi G1, G2 lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D). Chứng minh rằng G1, G2 lần lượt là trọng tâm của hai...

Lời giải a) Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) ( do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp); (ABCD) ∩ (ACC’A’) = AC; (A’B’C’D’) ∩ (ACC’A’) = A’C’. Do đó AC // A’C’. Mà A’C’ ⊂ (A’C’D) nên AC // (A’C’D). Chứng minh tương tự ta cũng có AB’ // DC’ mà DC’ ⊂ (A’C’D) nên AB’ // (A’C’D). Ta có: AC // (A’C’D); AB’ // (A’C’D); AC, AB’ cắt nhau tại điểm A và cùng nằm trong mp(ACB’). Do đó (ACB’) // (A’C’D). b) • Gọi O là tâm hình bình hành đáy ABCD, I là giao điểm của BD’ và DB’. Tứ giác BDD’B’ có BB’ // DD’ và BB’ = DD’ nên là hình bình hành. Do đó hai đường chéo BD’ và DB’ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Trong mp(BDD’B’), BD’ cắt B’O tại G1. Mà B’O ⊂ (ACB’) nên G1 là giao điểm của BD’ với (ACB’). Trong mp(BDD’B’), xét DBDB’ có hai đường trung tuyến BI, B’O cắt nhau tại G1 nên G1 là trọng tâm của DBDB’ Do đó ( frac{{B'{G_1}}}{{BO}} = frac{2}{3} ) Trong (ACB’), xét DACB’ có B’O là đường trung tuyến và ( frac{{B'{G_1}}}{{BO}} = frac{2}{3} ) Suy ra G1 là trọng tâm của DACB’. • Gọi O’ là tâm hình bình hành đáy A’B’C’D’. Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: G2 là trọng tâm của DDD’B’ nên ( frac{{D{G_2}}}{{DO'}} = frac{2}{3} ) Trong (A’C’D), DA’C’D có DO’ là đường trung tuyến và ( frac{{D{G_2}}}{{DO'}} = frac{2}{3} ) Suy ra G2 là trọng tâm của DA’C’D. c) Theo chứng minh câu b, ta có: • G1 là trọng tâm của DBDB’ nên ( frac{{B{G_1}}}{{BI}} = frac{2}{3} ) và ( frac{{I{G_1}}}{{B{G_1}}} = frac{1}{2} ) • G2 là trọng tâm của DDD’B’ nên ( frac{{D'{G_2}}}{{D'I}} = frac{2}{3} ) và ( frac{{I{G_2}}}{{D'{G_2}}} = frac{1}{2} ) Do đó ( frac{{B{G_1}}}{{BI}} = frac{{D'{G_2}}}{{D'I}} = frac{2}{3} ) và ( frac{{I{G_1}}}{{B{G_1}}} = frac{{I{G_2}}}{{D'{G_2}}} = frac{1}{2} ) Ta có: ( frac{{B{G_1}}}{{BI}} = frac{{D'{G_2}}}{{D'I}} ) và BI = D’I (do I là trung điểm của BD’) Suy ra BG1 = D’G2. Lại có ( frac{{I{G_1}}}{{B{G_1}}} = frac{{I{G_2}}}{{D'{G_2}}} = frac{1}{2} ) nên IG1 = IG2 = ( frac{1}{2} )BG1 Do đó G1G2 = IG1 + IG2 = ( frac{1}{2} )BG1 + ( frac{1}{2} )BG1 = BG1. Vậy BG1 = G1G2 = D’G2.

Câu hỏi:

13/07/2024 12,593

Cho hình hộp ABCD.A’B’C D’.

a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).

b) Gọi G₁, G₂ lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D). Chứng minh rằng G₁, G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.

c) Chứng minh rằng BG₁ = G₁G₂ = D’G₂.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 CD Bài 5. Hình lăng trụ và hình hộp có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) ( do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp);

(ABCD) ∩ (ACC’A’) = AC;

(A’B’C’D’) ∩ (ACC’A’) = A’C’.

Do đó AC // A’C’.

Mà A’C’ ⊂ (A’C’D) nên AC // (A’C’D).

Chứng minh tương tự ta cũng có AB’ // DC’ mà DC’ ⊂ (A’C’D) nên AB’ // (A’C’D).

Ta có: AC // (A’C’D);

AB’ // (A’C’D);

AC, AB’ cắt nhau tại điểm A và cùng nằm trong mp(ACB’).

Do đó (ACB’) // (A’C’D).

Media VietJack

• Gọi O là tâm hình bình hành đáy ABCD, I là giao điểm của BD’ và DB’.

Tứ giác BDD’B’ có BB’ // DD’ và BB’ = DD’ nên là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo BD’ và DB’ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Trong mp(BDD’B’), BD’ cắt B’O tại G₁.

Mà B’O ⊂ (ACB’) nên G₁ là giao điểm của BD’ với (ACB’).

Trong mp(BDD’B’), xét DBDB’ có hai đường trung tuyến BI, B’O cắt nhau tại G₁ nên G₁ là trọng tâm của DBDB’

Do đó \(\frac{{B'{G_1}}}{{BO}} = \frac{2}{3}\)

Trong (ACB’), xét DACB’ có B’O là đường trung tuyến và \(\frac{{B'{G_1}}}{{BO}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra G₁ là trọng tâm của DACB’.

• Gọi O’ là tâm hình bình hành đáy A’B’C’D’.

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: G₂ là trọng tâm của DDD’B’ nên \(\frac{{D{G_2}}}{{DO'}} = \frac{2}{3}\)

Trong (A’C’D), DA’C’D có DO’ là đường trung tuyến và \(\frac{{D{G_2}}}{{DO'}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra G₂ là trọng tâm của DA’C’D.

c) Theo chứng minh câu b, ta có:

• G₁ là trọng tâm của DBDB’ nên \(\frac{{B{G_1}}}{{BI}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{I{G_1}}}{{B{G_1}}} = \frac{1}{2}\)

• G₂ là trọng tâm của DDD’B’ nên \(\frac{{D'{G_2}}}{{D'I}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{I{G_2}}}{{D'{G_2}}} = \frac{1}{2}\)

Do đó \(\frac{{B{G_1}}}{{BI}} = \frac{{D'{G_2}}}{{D'I}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{I{G_1}}}{{B{G_1}}} = \frac{{I{G_2}}}{{D'{G_2}}} = \frac{1}{2}\)

Ta có: \(\frac{{B{G_1}}}{{BI}} = \frac{{D'{G_2}}}{{D'I}}\) và BI = D’I (do I là trung điểm của BD’)

Suy ra BG₁ = D’G₂.

Lại có \(\frac{{I{G_1}}}{{B{G_1}}} = \frac{{I{G_2}}}{{D'{G_2}}} = \frac{1}{2}\) nên IG₁ = IG₂ = \(\frac{1}{2}\)BG₁

Do đó G₁G₂ = IG₁ + IG₂ = \(\frac{1}{2}\)BG₁ + \(\frac{1}{2}\)BG₁ = BG₁.

Vậy BG₁ = G₁G₂ = D’G₂.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A’B’.

a) Chứng minh rằng EF // (BCC’B’).

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC’B). Chứng minh rằng I là trung điểm đoạn thẳng CF.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của BC.

Trong mp(ABC), xét DABC có E, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên EM là đường trung bình của tam giác

Do đó EM // AB và EM = \(\frac{1}{2}\)AB.

Mà AB // A’B’ nên EM // A’B’ hay EM // FB’.

Lại có AB = A’B’ và FB’ = \(\frac{1}{2}\)A’B’ nên EM = FB’.

Trong mp(EMB’F), xét tứ giác EMB’F có EM // FB’ và EM = FB’ nên là hình bình hành.

Do đó EF // B’M, mà B’M ⊂ (BCC’B’) nên EF // (BCC’B’).

Media VietJack

Gọi N là trung điểm của AB.

Trong mp(ABB’A’), xét hình bình hành ABB’A’ cũng là hình thang có N, F lần lượt là trung điểm của AB, A’B’ nên NF là đường trung bình của hình thang

Do đó NF // BB’ và \[NF = \frac{{AA' + BB'}}{2} = \frac{{2BB'}}{2} = BB'\].

Mà BB’ // CC’ nên NF // CC’.

Lại có BB’ = CC’ nên NF = CC’.

Trong mp(NFC’C), xét tứ giác NFC’C có NF // CC’ và NF = CC’ nên là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo CF và NC’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lại có NC’ ⊂ (ABC’) nên CF cắt (ABC’) tại trung điểm I của CF.

Vậy CF cắt (ABC’) tại trung điểm I của CF.

Câu 2

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA’, C’D’, AD’. Chứng minh rằng:

a) NQ // A’D’ và NQ = \(\frac{1}{2}\)A’D’;

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;

c) MN // (ACD’);

d) (MNP) // (ACD’).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Trong mp(ADD’A’), xét DAA’D’ có N, Q lần lượt là trung điểm của AA’ và AD’

Do đó NQ là đường trung bình của tam giác

Suy ra NQ // A’D’ và NQ = \(\frac{1}{2}\)A’D’.

Media VietJack

Ta có: A’D’ // AD // BC, mà NQ // A’D’ (câu a) nên NQ // BC hay NQ // MC.

Ta cũng có A’D’ = AD = BC, mà NQ = \(\frac{1}{2}\)A’D’ (câu a) nên NQ = \(\frac{1}{2}\)BC

Lại có BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC (do M là trung điểm BC)

Do đó NQ = MC.

Tứ giác MNQC có NQ // MC và NQ = MC nên là MNQC hình bình hành.

Media VietJack

Do MNQC hình bình hành nên MN // QC

Mà QC ⊂ (ACD’) nên MN // (ACD’).

Media VietJack

Gọi O là trung điểm của ABCD.

Trong (ABCD), xét DABC có O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung bình của tam giác

Do đó OM // AB và OM = \(\frac{1}{2}\)AB.

Mà AB // D’P nên OM // D’P.

Lại có D’P = \(\frac{1}{2}\)D’C’ và D’C’ = AB nên OM = D’P.

Xét tứ giác D’PMO có OM // D’P và OM = D’P nên là hình bình hành

Suy ra PM // D’O

Mà D’O ⊂ (ACD’) nên PM // (ACD’).

Ta có: MN // (ACD’);

PM // (ACD’);

MN, PM cắt nhau tại điểm M và cùng nằm trong mp(MNP)

Do đó (MNP) // (ACD’).

Câu 3

Vẽ hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Hãy liệt kê các đường chéo của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (Hình 73).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng bốn mặt phẳng (ABC’D’), (BCD’A’), (CDA’B’), (DAB’C’) cùng đi qua một điểm.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong thực tiễn, ta thường gặp nhiều đồ dùng, vật thể gợi nên hình ảnh hình lăng trụ, hình hộp. Chẳng hạn: Khung lịch để bàn (Hình 68); Tháp đôi Puerta de Europa ở Madrid, Tây Ban Nha (Hình 69), …

Hình lăng trụ và hình hộp là hình như thế nào?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Bình luận

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA’, C’D’, AD’. Chứng minh rằng: a) NQ // A’D’ và NQ = \(\frac{1}{2}\)A’D’; b) Tứ giác MNQC là hình bình hành; c) MN // (ACD’); d) (MNP) // (ACD’).

Vẽ hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành.

Hãy liệt kê các đường chéo của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (Hình 73).

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng bốn mặt phẳng (ABC’D’), (BCD’A’), (CDA’B’), (DAB’C’) cùng đi qua một điểm.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA’, C’D’, AD’. Chứng minh rằng:

a) NQ // A’D’ và NQ = \(\frac{1}{2}\)A’D’;

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;

c) MN // (ACD’);

d) (MNP) // (ACD’).