Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA’, C’D’, AD’. Chứng minh rằng:

a) NQ // A’D’ và NQ = \(\frac{1}{2}\)A’D’;

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;

c) MN // (ACD’);

d) (MNP) // (ACD’).

Lời giải

a)

Gọi M là trung điểm của BC.

Trong mp(ABC), xét DABC có E, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên EM là đường trung bình của tam giác

Do đó EM // AB và EM = \(\frac{1}{2}\)AB.

Mà AB // A’B’ nên EM // A’B’ hay EM // FB’.

Lại có AB = A’B’ và FB’ = \(\frac{1}{2}\)A’B’ nên EM = FB’.

Trong mp(EMB’F), xét tứ giác EMB’F có EM // FB’ và EM = FB’ nên là hình bình hành.

Do đó EF // B’M, mà B’M ⊂ (BCC’B’) nên EF // (BCC’B’).

b)

Gọi N là trung điểm của AB.

Trong mp(ABB’A’), xét hình bình hành ABB’A’ cũng là hình thang có N, F lần lượt là trung điểm của AB, A’B’ nên NF là đường trung bình của hình thang

Do đó NF // BB’ và \[NF = \frac{{AA' + BB'}}{2} = \frac{{2BB'}}{2} = BB'\].

Mà BB’ // CC’ nên NF // CC’.

Lại có BB’ = CC’ nên NF = CC’.

Trong mp(NFC’C), xét tứ giác NFC’C có NF // CC’ và NF = CC’ nên là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo CF và NC’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lại có NC’ ⊂ (ABC’) nên CF cắt (ABC’) tại trung điểm I của CF.

Vậy CF cắt (ABC’) tại trung điểm I của CF.

Lời giải

a)

Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) ( do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp);

           (ABCD) ∩ (ACC’A’) = AC;

           (A’B’C’D’) ∩ (ACC’A’) = A’C’.

Do đó AC // A’C’.

Mà A’C’ ⊂ (A’C’D) nên AC // (A’C’D).

Chứng minh tương tự ta cũng có AB’ // DC’ mà DC’ ⊂ (A’C’D) nên AB’ // (A’C’D).

Ta có: AC // (A’C’D);

          AB’ // (A’C’D);

          AC, AB’ cắt nhau tại điểm A và cùng nằm trong mp(ACB’).

Do đó (ACB’) // (A’C’D).

b)

• Gọi O là tâm hình bình hành đáy ABCD, I là giao điểm của BD’ và DB’.

Tứ giác BDD’B’ có BB’ // DD’ và BB’ = DD’ nên là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo BD’ và DB’ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Trong mp(BDD’B’), BD’ cắt B’O tại G₁.

Mà B’O ⊂ (ACB’) nên G₁ là giao điểm của BD’ với (ACB’).

Trong mp(BDD’B’), xét DBDB’ có hai đường trung tuyến BI, B’O cắt nhau tại G₁ nên G₁ là trọng tâm của DBDB’

Do đó \(\frac{{B'{G_1}}}{{BO}} = \frac{2}{3}\)

Trong (ACB’), xét DACB’ có B’O là đường trung tuyến và \(\frac{{B'{G_1}}}{{BO}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra G₁ là trọng tâm của DACB’.

• Gọi O’ là tâm hình bình hành đáy A’B’C’D’.

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: G₂ là trọng tâm của DDD’B’ nên \(\frac{{D{G_2}}}{{DO'}} = \frac{2}{3}\)

Trong (A’C’D), DA’C’D có DO’ là đường trung tuyến và \(\frac{{D{G_2}}}{{DO'}} = \frac{2}{3}\)

Suy ra G₂ là trọng tâm của DA’C’D.

c) Theo chứng minh câu b, ta có:

• G₁ là trọng tâm của DBDB’ nên \(\frac{{B{G_1}}}{{BI}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{I{G_1}}}{{B{G_1}}} = \frac{1}{2}\)

• G₂ là trọng tâm của DDD’B’ nên \(\frac{{D'{G_2}}}{{D'I}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{I{G_2}}}{{D'{G_2}}} = \frac{1}{2}\)

Do đó \(\frac{{B{G_1}}}{{BI}} = \frac{{D'{G_2}}}{{D'I}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{I{G_1}}}{{B{G_1}}} = \frac{{I{G_2}}}{{D'{G_2}}} = \frac{1}{2}\)

Ta có: \(\frac{{B{G_1}}}{{BI}} = \frac{{D'{G_2}}}{{D'I}}\) và BI = D’I (do I là trung điểm của BD’)

Suy ra BG₁ = D’G₂.

Lại có \(\frac{{I{G_1}}}{{B{G_1}}} = \frac{{I{G_2}}}{{D'{G_2}}} = \frac{1}{2}\) nên IG₁ = IG₂ = \(\frac{1}{2}\)BG₁

Do đó G₁G₂ = IG₁ + IG₂ = \(\frac{1}{2}\)BG₁ + \(\frac{1}{2}\)BG₁ = BG₁.

Vậy BG₁ = G₁G₂ = D’G₂.