Câu hỏi:
01/08/2023 2,100Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA’, C’D’, AD’. Chứng minh rằng:
a) NQ // A’D’ và NQ = \(\frac{1}{2}\)A’D’;
b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;
c) MN // (ACD’);
d) (MNP) // (ACD’).
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a)
Trong mp(ADD’A’), xét DAA’D’ có N, Q lần lượt là trung điểm của AA’ và AD’
Do đó NQ là đường trung bình của tam giác
Suy ra NQ // A’D’ và NQ = \(\frac{1}{2}\)A’D’.
b)
Ta có: A’D’ // AD // BC, mà NQ // A’D’ (câu a) nên NQ // BC hay NQ // MC.
Ta cũng có A’D’ = AD = BC, mà NQ = \(\frac{1}{2}\)A’D’ (câu a) nên NQ = \(\frac{1}{2}\)BC
Lại có BM = MC = \(\frac{1}{2}\)BC (do M là trung điểm BC)
Do đó NQ = MC.
Tứ giác MNQC có NQ // MC và NQ = MC nên là MNQC hình bình hành.
c)
Do MNQC hình bình hành nên MN // QC
Mà QC ⊂ (ACD’) nên MN // (ACD’).
d)
Gọi O là trung điểm của ABCD.
Trong (ABCD), xét DABC có O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung bình của tam giác
Do đó OM // AB và OM = \(\frac{1}{2}\)AB.
Mà AB // D’P nên OM // D’P.
Lại có D’P = \(\frac{1}{2}\)D’C’ và D’C’ = AB nên OM = D’P.
Xét tứ giác D’PMO có OM // D’P và OM = D’P nên là hình bình hành
Suy ra PM // D’O
Mà D’O ⊂ (ACD’) nên PM // (ACD’).
Ta có: MN // (ACD’);
PM // (ACD’);
MN, PM cắt nhau tại điểm M và cùng nằm trong mp(MNP)
Do đó (MNP) // (ACD’).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A’B’.
a) Chứng minh rằng EF // (BCC’B’).
b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC’B). Chứng minh rằng I là trung điểm đoạn thẳng CF.
Câu 2:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C D’.
a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).
b) Gọi G1, G2 lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D). Chứng minh rằng G1, G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.
c) Chứng minh rằng BG1 = G1G2 = D’G2.
Câu 3:
Trong thực tiễn, ta thường gặp nhiều đồ dùng, vật thể gợi nên hình ảnh hình lăng trụ, hình hộp. Chẳng hạn: Khung lịch để bàn (Hình 68); Tháp đôi Puerta de Europa ở Madrid, Tây Ban Nha (Hình 69), …
Hình lăng trụ và hình hộp là hình như thế nào?
Câu 6:
về câu hỏi!