Câu hỏi:
13/07/2024 4,078
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\).
a) Chứng minh rằng C’M // (A’BM’).
b) Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’).
c) Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’).
d) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt cạnh CC’ tại điểm I. Tính \(\frac{{IC}}{{IC'}}\).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\).
a) Chứng minh rằng C’M // (A’BM’).
b) Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’).
c) Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’).
d) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt cạnh CC’ tại điểm I. Tính \(\frac{{IC}}{{IC'}}\).
Câu hỏi trong đề:
Giải SGK Toán 11 CD Bài tập cuối chương IV có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a)
Trong mp(BCC’B’) có tứ giác BCC’B’ là hình bình hành nên BC // B’C’ và BC = B’C’.
Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ nên BM = C’M’ = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)B’C’.
Tứ giác BMC’M’ có BM // C’M’ (do BC // B’C’) và BM = C’M’ nên BMC’M’ là hình bình hành
Do đó C’M // M’B, mà M’B ⊂ (A’BM’) nên C’M // (A’BM’).
b)
Trong mp(A’BM’), xét DA’BM’ có \(\frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\) nên G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo)
Mà M’B ⊂ (BCC’B’) nên G’K // (BCC’B’).
c)
Trong mp(BCC’B’), tứ giác CMM’C’ có C’M’ // CM và C’M’ = CM = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)B’C’
Do đó tứ giác CMM’C’ là hình bình hành nên M’M // C’C và M’M = C’C.
Mà A’A // C’C và A’A = C’C nên A’A // M’M và A’A = M’M.
Khi đó AMM’A’ là hình bình hành nên A’M’ // AM và A’M’ = AM.
Lại có \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{2}{3}\) nên A’G’ = AG, do đó G’M’ = GM.
Xét tứ giác GMM’G’ có: G’M’ = GM (do A’M’ // AM) và G’M’ = GM.
Do đó GMM’G’ là hình bình hành nên G’G // M’M
Lại có M’M ⊂ (BCC’B’) nên G’G // (BCC’B’).
Ta có: G’K // (BCC’B’);
G’G // (BCC’B’);
G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)
Do đó (GG’K) // ((BCC’B’).
d)
Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.
Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.
Ta có: IJ // AC mà AC ⊂ (ABC) nên IJ // (ABC);
JK // AB mà AB ⊂ (ABC) nên JK // (ABC).
Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên (IJK) // (ABC).
Theo bài, mp(α) // (ABC) và đi qua K nên mp(α) chính là mp(IJK).
Khi đó CC’ cắt (α) tại I.
Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.
Xét hai cát tuyến C’C và A’B bất kì cắt ba mặt phẳng song song (A’B’C’), (IJK), (ABC) lần lượt tại các điểm C’, I, C và A’, K, B. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta có: \(\frac{{C'I}}{{A'K}} = \frac{{IC}}{{KB}}\)
Suy ra \[\frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{{IC}}{{C'I}}\]
Theo bài, \(\frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\) nên \(\frac{{A'B}}{{A'K}} = \frac{3}{2}\) do đó \(\frac{{A'B - A'K}}{{A'K}} = \frac{{3 - 2}}{2}\) hay \(\frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{1}{2}\)
Vậy \[\frac{{IC}}{{IC'}} = \frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{1}{2}\].
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD) và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng:
a) MN // (SCD);
b) DM // (SBC);
c) Lấy điểm I thuộc cạnh SD sao cho \(\frac{{SI}}{{SD}} = \frac{2}{3}\). Chứng minh rằng: SB // (AIC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD) và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng:
a) MN // (SCD);
b) DM // (SBC);
c) Lấy điểm I thuộc cạnh SD sao cho \(\frac{{SI}}{{SD}} = \frac{2}{3}\). Chứng minh rằng: SB // (AIC).
Xem đáp án »
13/07/2024
9,258
Câu 2:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C’D’.
a) Chứng minh rằng (A’DN) // (B’CM).
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D’B với các mặt phẳng (A’DN), (B’CM). Chứng minh rằng D’E = BF = \(\frac{1}{2}\)EF.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C’D’.
a) Chứng minh rằng (A’DN) // (B’CM).
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D’B với các mặt phẳng (A’DN), (B’CM). Chứng minh rằng D’E = BF = \(\frac{1}{2}\)EF.
Xem đáp án »
13/07/2024
6,978
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với mỗi mặt phẳng sau:
a) (SCD);
b) (SBC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với mỗi mặt phẳng sau:
a) (SCD);
b) (SBC).
Xem đáp án »
13/07/2024
6,751
Câu 4:
Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với (ABCD) // (EFMH), CK // DH. Khối gỗ bị hỏng một góc (Hình 91). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (R) đi qua K và song song với mặt phẳng (ABCD).
a) Hãy giúp bác thợ mộc xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) với các mặt của khối gỗ để cắt được chính xác.
b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm DH, BF với mặt phẳng (R). Biết BF = 60 cm, DH = 75 cm, CK = 40 cm. Tính FJ.
Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với (ABCD) // (EFMH), CK // DH. Khối gỗ bị hỏng một góc (Hình 91). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (R) đi qua K và song song với mặt phẳng (ABCD).
a) Hãy giúp bác thợ mộc xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) với các mặt của khối gỗ để cắt được chính xác.
b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm DH, BF với mặt phẳng (R). Biết BF = 60 cm, DH = 75 cm, CK = 40 cm. Tính FJ.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,958
Câu 5:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD. Điểm P thuộc cạnh AC sao cho PA = 2PC.
a) Xác định giao điểm E của đường thẳng MP với mặt phẳng (BCD).
b) Xác định giao điểm Q của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP).
c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) với mặt phẳng (MNP).
d) Gọi I là giao điểm của MQ và NP, G là trọng tâm của tam giác ABD. Chứng minh rằng C, I, G thẳng hàng.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD. Điểm P thuộc cạnh AC sao cho PA = 2PC.
a) Xác định giao điểm E của đường thẳng MP với mặt phẳng (BCD).
b) Xác định giao điểm Q của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP).
c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) với mặt phẳng (MNP).
d) Gọi I là giao điểm của MQ và NP, G là trọng tâm của tam giác ABD. Chứng minh rằng C, I, G thẳng hàng.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,216
Câu 6:
Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi:
A. Đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.
B. Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.
C. Đường thẳng đó không có điểm chung với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.
D. Đường thẳng đó không có điểm chung với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi:
A. Đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.
B. Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.
C. Đường thẳng đó không có điểm chung với một đường thẳng thuộc mặt phẳng.
D. Đường thẳng đó không có điểm chung với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,248
về câu hỏi!