Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23

a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a=a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac≥a2+b2+c22a2+2ab+b2+2bc+c2+2ac ⇔a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c22a+b+c2 (1) Theo hệ quả của bất đẳng thức AM – GM ta có a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac≥a2+b2+c22a2+2ab+b2+2bc+c2+2ac ⇔a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c22a+b+c2 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac ⇔ 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ac) ⇔ 3(a2 + b2 + c2) ≥ 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 ⇔ 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 (2) Từ (1) và (2) suy ra a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23 Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c > 0 Vậy với a, b, c > 0 thì a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23 .

Câu hỏi:

12/07/2024 3,230

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} = \frac{a^{4}}{a^{2} + 2 a b} + \frac{b^{4}}{b^{2} + 2 b c} + \frac{c^{4}}{c^{2} + 2 ac}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có: $\frac{a^{4}}{a^{2} + 2 a b} + \frac{b^{4}}{b^{2} + 2 b c} + \frac{c^{4}}{c^{2} + 2 ac} \geq \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + c^{2} + 2 a c}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{{(a + b + c)}^{2}}$ (1)

Theo hệ quả của bất đẳng thức AM – GM ta có $\frac{a^{4}}{a^{2} + 2 a b} + \frac{b^{4}}{b^{2} + 2 b c} + \frac{c^{4}}{c^{2} + 2 ac} \geq \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + c^{2} + 2 a c}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{{(a + b + c)}^{2}}$

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac

⇔ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ac)

⇔ 3(a² + b² + c²) ≥ 2ab + 2bc + 2ac + a² + b² + c²

⇔ 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)² (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c > 0

Vậy với a, b, c > 0 thì $\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho 3 số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Chứng minh $\frac{a}{b c + 1} + \frac{b}{a c + 1} + \frac{c}{a b + 1} \leq 2$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho 3 số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Chứng minh a/bc +1 +b/ ac +1 +c/ ab +1 nhỏ hơn hoặc bằng 2 . (ảnh 1)

Câu 2

Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó:

A. A ∩ B = C

B. A ∪ B = C

C. A \ B = C

D. B \ A = C.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Vì hình vuông là một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật và hình thoi. Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi

Nên A ∩ B = C

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 3

Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D, O và B nằm về hai phía so với cát tuyến MCD).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Chứng minh MB² = MC . MD.

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là tia phân giác của $\hat{C H D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Hình chóp có bao nhiêu mặt bên là tam giác vuông?

A. 1 mặt;

B. 2 mặt;

C. 3 mặt;

D. 4 mặt.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Có bao nhiêu cách cho một tập hợp?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình: $\log_{\sqrt{3}} (x - 2) + \log_{3} {(x - 4)}^{2} = 0$

A. $6 + \sqrt{2}$ ;

B. 6;

C. $3 + \sqrt{2}$ ;

D. 9.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23

Cho 3 số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Chứng minh abc+1+bac+1+cab+1≤2 .

Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó:

Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: ab+c+bc+a+ca+b≥32.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Hình chóp có bao nhiêu mặt bên là tam giác vuông?

Có bao nhiêu cách cho một tập hợp?

Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình:log3x−2+log3x−42=0 A. 6+2 ; B. 6; C. 3+2 ; D. 9.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$

Cho 3 số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Chứng minh $\frac{a}{b c + 1} + \frac{b}{a c + 1} + \frac{c}{a b + 1} \leq 2$ .

Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2} .$

Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình: $\log_{\sqrt{3}} (x - 2) + \log_{3} {(x - 4)}^{2} = 0$

A. $6 + \sqrt{2}$ ;

B. 6;

C. $3 + \sqrt{2}$ ;

D. 9.