Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23

a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a=a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac≥a2+b2+c22a2+2ab+b2+2bc+c2+2ac ⇔a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c22a+b+c2 (1) Theo hệ quả của bất đẳng thức AM – GM ta có a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac≥a2+b2+c22a2+2ab+b2+2bc+c2+2ac ⇔a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c22a+b+c2 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac ⇔ 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ac) ⇔ 3(a2 + b2 + c2) ≥ 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 ⇔ 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 (2) Từ (1) và (2) suy ra a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23 Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c > 0 Vậy với a, b, c > 0 thì a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23 .

Câu hỏi:

12/07/2024 2,562

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} = \frac{a^{4}}{a^{2} + 2 a b} + \frac{b^{4}}{b^{2} + 2 b c} + \frac{c^{4}}{c^{2} + 2 ac}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có: $\frac{a^{4}}{a^{2} + 2 a b} + \frac{b^{4}}{b^{2} + 2 b c} + \frac{c^{4}}{c^{2} + 2 ac} \geq \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + c^{2} + 2 a c}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{{(a + b + c)}^{2}}$ (1)

Theo hệ quả của bất đẳng thức AM – GM ta có $\frac{a^{4}}{a^{2} + 2 a b} + \frac{b^{4}}{b^{2} + 2 b c} + \frac{c^{4}}{c^{2} + 2 ac} \geq \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 b c + c^{2} + 2 a c}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}}{{(a + b + c)}^{2}}$

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac

⇔ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ac)

⇔ 3(a² + b² + c²) ≥ 2ab + 2bc + 2ac + a² + b² + c²

⇔ 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)² (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c > 0

Vậy với a, b, c > 0 thì $\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$ .

Bình luận

Câu 1:

Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó:

A. A ∩ B = C

B. A ∪ B = C

C. A \ B = C

D. B \ A = C.

Xem đáp án » 03/08/2023 17,632

Câu 2:

Cho 3 số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Chứng minh $\frac{a}{b c + 1} + \frac{b}{a c + 1} + \frac{c}{a b + 1} \leq 2$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 16,667

Câu 3:

Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 6,364

Câu 4:

Có bao nhiêu cách cho một tập hợp?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án » 03/08/2023 4,283

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Hình chóp có bao nhiêu mặt bên là tam giác vuông?

A. 1 mặt;

B. 2 mặt;

C. 3 mặt;

D. 4 mặt.

Xem đáp án » 03/08/2023 3,589

Câu 6:

Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D, O và B nằm về hai phía so với cát tuyến MCD).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Chứng minh MB² = MC . MD.

c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là tia phân giác của $\hat{C H D}$ .

Xem đáp án » 11/07/2024 2,893

Câu 7:

Cho các hàm số $y = a^{x}; y = \log_{b} x; y = \log_{c} x$ có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào dứoi đây đúng?

A. a < c < b

B. c < a < b

C. b < c < a.

Xem đáp án » 03/08/2023 2,841

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó:

Cho 3 số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Chứng minh $\frac{a}{b c + 1} + \frac{b}{a c + 1} + \frac{c}{a b + 1} \leq 2$ .

Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2} .$

Có bao nhiêu cách cho một tập hợp?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Hình chóp có bao nhiêu mặt bên là tam giác vuông?

Cho các hàm số $y = a^{x}; y = \log_{b} x; y = \log_{c} x$ có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào dứoi đây đúng?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật và C là tập hợp các hình vuông. Khi đó:

Cho 3 số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Chứng minh abc+1+bac+1+cab+1≤2 .

Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: ab+c+bc+a+ca+b≥32.

Có bao nhiêu cách cho một tập hợp?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Hình chóp có bao nhiêu mặt bên là tam giác vuông?

Cho các hàm số y=ax;y=logbx;y=logcx có đồ thị như hình vẽ Mệnh đề nào dứoi đây đúng?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{3}}{a + 2 b} + \frac{b^{3}}{b + 2 c} + \frac{c^{3}}{c + 2 a} \geq \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}$

Cho 3 số dương 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Chứng minh $\frac{a}{b c + 1} + \frac{b}{a c + 1} + \frac{c}{a b + 1} \leq 2$ .

Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2} .$

Cho các hàm số $y = a^{x}; y = \log_{b} x; y = \log_{c} x$ có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào dứoi đây đúng?