Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người đã bị lây bởi căn bệnh này?

Gọi u_n là số tiền (triệu đồng) mà cô Hoa có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ n (vào đầu tháng thứ n).

Kí hiệu a = 0,5 triệu đồng, r = 0,5% .

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 1 là u₁ = a.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 2 là

u₂ = u₁(1 + r) + a = a(1 + r) + a.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 3 là

u₃ = u₂(1 + r) + a = a(1 + r)² + a(1 + r) + a.

Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng n là

u_n = a(1 + r)^{n – 1} + a(1 + r)^{n – 2} + ... + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)^{n – 1} + (1 + r)^{n – 2} + ... + (1 + r) + 1]

= $a.\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{\left(1+r\right)-1}=a\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{r}$.  

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được

$u_{180}=0,5.\frac{{\left(1+0,5\%\right)}^{180}-1}{0,5\%}$ ≈ 145,41 (triệu đồng).

Khi đó, tuổi của con gái cô Hoa là 3 + 180 : 12 = 18 (tuổi).

Gọi u_n là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n.

Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số (u_n) là một cấp số nhân có u₁ = 180 và công bội q = 1 + 5% = 1,05.

Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là u₆ = u₁q⁵ = 180 . (1,05)⁵ ≈ 229,73 (triệu đồng).