Giải phương trình: 1+sinx+cosx=2cosx2−π4.

1+sinx+cosx=2cosx2−π4 ⇔sin2x2+cos2x2+2sinx2 . cosx2+cos2x2−sin2x2=2cosx2 . cosπ4+sinx2 . sinπ4 ⇔2cos2x2+2sinx2 . cosx2=2cosx2 . 22+sinx2 . 22 ⇔2cosx2sinx2+cosx2=2sinx2+cosx2 ⇔sinx2+cosx22cosx2−1=0 ⇔sinx2+cosx2=02cosx2−1=0⇔2sinx2+cosx2=0cosx2=22 ⇔sinx2+π4=0cosx2=22⇔x2+π4=kπx2=π4+k2πx2=−π4+k2π k∈ℤ ⇔x2=−π4+kπx2=π4+k2πx2=−π4+k2π k∈ℤ⇔x=−π2+k2πx=π2+k4πx=−π2+k4π k∈ℤ ⇔x=π2+kπ k∈ℤ Vậy họ nghiệm của hệ phương trình là: x=π2+kπ k∈ℤ.

Câu hỏi:

11/07/2024 602

Giải phương trình: $1 + \sin x + \cos x = 2 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$1 + \sin x + \cos x = 2 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} . \cos \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2} = 2 (\cos \frac{x}{2} . \cos \frac{π}{4} + \sin \frac{x}{2} . \sin \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow 2 \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} . \cos \frac{x}{2} = 2 (\cos \frac{x}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin \frac{x}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2})$

$\Leftrightarrow 2 \cos \frac{x}{2} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}) = \sqrt{2} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})$

$\Leftrightarrow (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}) (\sqrt{2} \cos \frac{x}{2} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 0 \\ \sqrt{2} \cos \frac{x}{2} - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{2} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}) = 0 \\ \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 0 \\ \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{x}{2} + \frac{π}{4} = k π \\ \frac{x}{2} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ \frac{x}{2} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{x}{2} = - \frac{π}{4} + k π \\ \frac{x}{2} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ \frac{x}{2} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 4 π \\ x = - \frac{π}{2} + k 4 π \end{array} (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

Vậy họ nghiệm của hệ phương trình là: $x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 3