Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ∫0π4tanx . fcos2xdx=2 và ∫ee2fln2xx . lnxdx=2. Tính ∫142f2xxdx.

Ta có: A=∫0π4tanx . fcos2xdx=∫0π4sinxcosx . fcos2xdx =∫0π4sinx . cosxcos2x . fcos2xdx=12∫0π4sin2xcos2x . fcos2xdx Đặt cos2 x = t Þ 2sin x.cos x dx = −dt Þ sin 2x dx = −dt Đổi cận: x=0⇒t=1x=π4⇒t=12 Khi đó A=−12∫112fttdt=12∫121fttdt=2 Lại có: ∫ee2fln2xx . lnxdx=12∫ee2fln2xln2x . 2lnxxdx Đặt ln2 x = t ⇒2lnxxdx=dt Đổi cận: x=e⇒t=1x=e2⇒t=4 Khi đó B=12∫14fttdt=2 Tính I=∫142f2xxdx=∫142f2x2x . 2dx=∫142f2x2xd2x =∫124fttdt=∫121fttdt+∫14fttdt = 4 + 4 = 8.

Câu hỏi:

11/07/2024 443

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x . f (\cos^{2} x) d x = 2$ và $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{x . \ln x} d x = 2$ . Tính $\int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{x} d x$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $A = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x . f (\cos^{2} x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} . f (\cos^{2} x) d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x . \cos x}{\cos^{2} x} . f (\cos^{2} x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin 2 x}{\cos^{2} x} . f (\cos^{2} x) d x$

Đặt cos² x = t Þ 2sin x.cos x dx = −dt

Þ sin 2x dx = −dt

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}$

Khi đó $A = - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{f (t)}{t} d t = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{t} d t = 2$

Lại có: $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{x . \ln x} d x = \frac{1}{2} \int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{\ln^{2} x} . \frac{2 \ln x}{x} d x$

Đặt ln² x = t

$\Rightarrow \frac{2 \ln x}{x} d x = d t$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = e \Rightarrow t = 1 \\ x = e^{2} \Rightarrow t = 4 \end{cases}$

Khi đó $B = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{f (t)}{t} d t = 2$

Tính $I = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{2 x} . 2 d x = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{2 x} d (2 x)$

$= \int_{\frac{1}{2}}^{4} \frac{f (t)}{t} d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{t} d t + \int_{1}^{4} \frac{f (t)}{t} d t$

= 4 + 4 = 8.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án » 13/07/2024 14,930

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án » 13/07/2024 12,831

Câu 3:

Tìm m để hàm số y = x³ − 2mx² + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 8,258

Câu 4:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD.

Xem đáp án » 23/08/2023 7,879

Câu 5:

Tính nguyên hàm $\int \frac{d x}{2 \tan x + 1}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 6,886

Câu 6:

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,159

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x³ + 2x² − mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,094

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP