Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn ∫0π4tanx . fcos2xdx=2 và ∫ee2fln2xx . lnxdx=2. Tính ∫142f2xxdx.

Ta có: A=∫0π4tanx . fcos2xdx=∫0π4sinxcosx . fcos2xdx =∫0π4sinx . cosxcos2x . fcos2xdx=12∫0π4sin2xcos2x . fcos2xdx Đặt cos2 x = t Þ 2sin x.cos x dx = −dt Þ sin 2x dx = −dt Đổi cận: x=0⇒t=1x=π4⇒t=12 Khi đó A=−12∫112fttdt=12∫121fttdt=2 Lại có: ∫ee2fln2xx . lnxdx=12∫ee2fln2xln2x . 2lnxxdx Đặt ln2 x = t ⇒2lnxxdx=dt Đổi cận: x=e⇒t=1x=e2⇒t=4 Khi đó B=12∫14fttdt=2 Tính I=∫142f2xxdx=∫142f2x2x . 2dx=∫142f2x2xd2x =∫124fttdt=∫121fttdt+∫14fttdt = 4 + 4 = 8.

Câu hỏi:

11/07/2024 557

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x . f (\cos^{2} x) d x = 2$ và $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{x . \ln x} d x = 2$ . Tính $\int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{x} d x$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $A = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan x . f (\cos^{2} x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} . f (\cos^{2} x) d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x . \cos x}{\cos^{2} x} . f (\cos^{2} x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin 2 x}{\cos^{2} x} . f (\cos^{2} x) d x$

Đặt cos² x = t Þ 2sin x.cos x dx = −dt

Þ sin 2x dx = −dt

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}$

Khi đó $A = - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{f (t)}{t} d t = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{t} d t = 2$

Lại có: $\int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{x . \ln x} d x = \frac{1}{2} \int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln^{2} x)}{\ln^{2} x} . \frac{2 \ln x}{x} d x$

Đặt ln² x = t

$\Rightarrow \frac{2 \ln x}{x} d x = d t$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = e \Rightarrow t = 1 \\ x = e^{2} \Rightarrow t = 4 \end{cases}$

Khi đó $B = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{f (t)}{t} d t = 2$

Tính $I = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{2 x} . 2 d x = \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f (2 x)}{2 x} d (2 x)$

$= \int_{\frac{1}{2}}^{4} \frac{f (t)}{t} d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{t} d t + \int_{1}^{4} \frac{f (t)}{t} d t$

= 4 + 4 = 8.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 3