Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x3 + y3) − 3xy. Tính giá trị của M + m.

P = 2(x3 + y3) − 3xy = 2(x + y)(x2 − xy + y2) − 3xy = 2(x + y)(2 − xy) − 3xy Đặt t = x + y Þ t2 = x2 + y2 + 2xy = 2 + 2xy ⇔xy=t2−22 Vì (x + y)2 ≥ 4xy Û t2 ≥ 2(t2 − 2) Û t2 − 4 £ 0 Û −2 £ t £ 2 Khi đó ta có: P=2t2−t2−22−3 . t2−22, t∈−2; 2 =4t−t3+2t−32t2+3 =−t3−32t2+6t+3=ft Xét hàm số ft=−t3−32t2+6t+3 trên [−2; 2] ta có: f't=−3t2−3t+6=0⇔t=1∈−2; 2t=−2∈−2; 2 Ta tính được: f−2=−7; f1=132; f2=1 Suy ra max−2; 2ft=f1=132=maxP và min−2; 2ft=f−2=−7=minP Vậy M+m=132+−7=−12.

Câu hỏi:

13/07/2024 200

Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x² + y² = 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x³ + y³) − 3xy. Tính giá trị của M + m.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

P = 2(x³ + y³) − 3xy = 2(x + y)(x² − xy + y²) − 3xy

= 2(x + y)(2 − xy) − 3xy

Đặt t = x + y Þ t² = x² + y² + 2xy = 2 + 2xy

$\Leftrightarrow x y = \frac{t^{2} - 2}{2}$

Vì (x + y)² ≥ 4xy Û t² ≥ 2(t² − 2)

Û t² − 4 £ 0 Û −2 £ t £ 2

Khi đó ta có:

$P = 2 t (2 - \frac{t^{2} - 2}{2}) - 3 . \frac{t^{2} - 2}{2}, (t \in [- 2; 2])$

$= 4 t - t^{3} + 2 t - \frac{3}{2} t^{2} + 3$

$= - t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} + 6 t + 3 = f (t)$

Xét hàm số $f (t) = - t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} + 6 t + 3$ trên [−2; 2] ta có:

$f^{'} (t) = - 3 t^{2} - 3 t + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \in [- 2; 2] \\ t = - 2 \in [- 2; 2] \end{array}$

Ta tính được: $f (- 2) = - 7; f (1) = \frac{13}{2}; f (2) = 1$

Suy ra $\max_{[- 2; 2]} f (t) = f (1) = \frac{13}{2} = \max P$ và $\min_{[- 2; 2]} f (t) = f (- 2) = - 7 = \min P$

Vậy $M + m = \frac{13}{2} + (- 7) = \frac{- 1}{2}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 3