Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x3 + y3) − 3xy. Tính giá trị của M + m.

P = 2(x3 + y3) − 3xy = 2(x + y)(x2 − xy + y2) − 3xy = 2(x + y)(2 − xy) − 3xy Đặt t = x + y Þ t2 = x2 + y2 + 2xy = 2 + 2xy ⇔xy=t2−22 Vì (x + y)2 ≥ 4xy Û t2 ≥ 2(t2 − 2) Û t2 − 4 £ 0 Û −2 £ t £ 2 Khi đó ta có: P=2t2−t2−22−3 . t2−22, t∈−2; 2 =4t−t3+2t−32t2+3 =−t3−32t2+6t+3=ft Xét hàm số ft=−t3−32t2+6t+3 trên [−2; 2] ta có: f't=−3t2−3t+6=0⇔t=1∈−2; 2t=−2∈−2; 2 Ta tính được: f−2=−7; f1=132; f2=1 Suy ra max−2; 2ft=f1=132=maxP và min−2; 2ft=f−2=−7=minP Vậy M+m=132+−7=−12.

Câu hỏi:

13/07/2024 135

Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x² + y² = 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x³ + y³) − 3xy. Tính giá trị của M + m.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

P = 2(x³ + y³) − 3xy = 2(x + y)(x² − xy + y²) − 3xy

= 2(x + y)(2 − xy) − 3xy

Đặt t = x + y Þ t² = x² + y² + 2xy = 2 + 2xy

$\Leftrightarrow x y = \frac{t^{2} - 2}{2}$

Vì (x + y)² ≥ 4xy Û t² ≥ 2(t² − 2)

Û t² − 4 £ 0 Û −2 £ t £ 2

Khi đó ta có:

$P = 2 t (2 - \frac{t^{2} - 2}{2}) - 3 . \frac{t^{2} - 2}{2}, (t \in [- 2; 2])$

$= 4 t - t^{3} + 2 t - \frac{3}{2} t^{2} + 3$

$= - t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} + 6 t + 3 = f (t)$

Xét hàm số $f (t) = - t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} + 6 t + 3$ trên [−2; 2] ta có:

$f^{'} (t) = - 3 t^{2} - 3 t + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \in [- 2; 2] \\ t = - 2 \in [- 2; 2] \end{array}$

Ta tính được: $f (- 2) = - 7; f (1) = \frac{13}{2}; f (2) = 1$

Suy ra $\max_{[- 2; 2]} f (t) = f (1) = \frac{13}{2} = \max P$ và $\min_{[- 2; 2]} f (t) = f (- 2) = - 7 = \min P$

Vậy $M + m = \frac{13}{2} + (- 7) = \frac{- 1}{2}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án » 13/07/2024 14,931

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án » 13/07/2024 12,833

Câu 3:

Tìm m để hàm số y = x³ − 2mx² + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 8,258

Câu 4:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD.

Xem đáp án » 23/08/2023 7,880

Câu 5:

Tính nguyên hàm $\int \frac{d x}{2 \tan x + 1}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 6,891

Câu 6:

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,159

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x³ + 2x² − mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,094

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP