Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6. Tính GTNN của biểu thức: M=3x+2y+6x+8y.

Ta có: M=3x+2y+6x+8y =3x2+6x+y2+8y+3x2+3y2 =3x2+6x+y2+8y+32x+y Áp dụng BĐT AM - GM với x, y > 0 ta có: 3x2+6x≥23x2 . 6x=29=6 y2+8y≥2y2 . 8y=24=4 Khi đó: M=3x2+6x+y2+8y+32x+y ≥6+4+32 . 6=19 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 2, y = 4. Vậy GTNN của biểu thức M là 19 khi x = 2, y = 4.

Câu hỏi:

13/07/2024 523

Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y ≥ 6. Tính GTNN của biểu thức: $M = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $M = 3 x + 2 y + \frac{6}{x} + \frac{8}{y}$

$= (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{y}{2} + \frac{8}{y}) + (\frac{3 x}{2} + \frac{3 y}{2})$

$= (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{y}{2} + \frac{8}{y}) + \frac{3}{2} (x + y)$

Áp dụng BĐT AM - GM với x, y > 0 ta có:

$\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{3 x}{2} . \frac{6}{x}} = 2 \sqrt{9} = 6$

$\frac{y}{2} + \frac{8}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{y}{2} . \frac{8}{y}} = 2 \sqrt{4} = 4$

Khi đó: $M = (\frac{3 x}{2} + \frac{6}{x}) + (\frac{y}{2} + \frac{8}{y}) + \frac{3}{2} (x + y)$

$\geq 6 + 4 + \frac{3}{2} . 6 = 19$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = 2, y = 4.

Vậy GTNN của biểu thức M là 19 khi x = 2, y = 4.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 3