Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và ∫−11fxdx=4. Kết quả I=∫−11fx1+exdx bằng bao nhiêu?

Đặt t = −x Þ dt = − dx Đổi cận: x=1⇒t=−1x=−1⇒t=1, khi đó: I=∫−11fx1+exdx=−∫1−1f−t1+e−tdt=∫−11f−t1+1etdt =∫−11f−tet+1etdt=∫−11et . f−tet+1dt=∫−11ex . f−xex+1dx Do f (x) là hàm số chẵn nên f (x) = f (−x) "x Î [−1; 1] ⇒I=∫−11fx1+exdx=∫−11ex . f−xex+1dx=∫−11ex . fxex+1dx ⇒I+I=∫−11fx1+exdx+∫−11ex . fxex+1dx=∫−11ex+1 . fxex+1dx ⇒2I=∫−11fxdx=4 ⇒I=∫−11fx1+exdx=2 Vậy I=∫−11fx1+exdx=2.

Câu hỏi:

19/08/2025 180

Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4$ . Kết quả $I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x$ bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt t = −x Þ dt = − dx

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow t = - 1 \\ x = - 1 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$ , khi đó:

$I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = - \int_{1}^{- 1} \frac{f (- t)}{1 + e^{- t}} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{f (- t)}{1 + \frac{1}{e^{t}}} d t$

$= \int_{- 1}^{1} \frac{f (- t)}{\frac{e^{t} + 1}{e^{t}}} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{t} . f (- t)}{e^{t} + 1} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (- x)}{e^{x} + 1} d x$

Do f (x) là hàm số chẵn nên f (x) = f (−x) "x Î [−1; 1]

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (- x)}{e^{x} + 1} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{e^{x} + 1} d x$

$\Rightarrow I + I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x + \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{e^{x} + 1} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{(e^{x} + 1) . f (x)}{e^{x} + 1} d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4$

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = 2$

Vậy $I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = 2$ .

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 2

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 3