Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và thỏa mãn ∫012fxdx=3; ∫1412f2xdx=10. Tính I=∫−π20cosxfsinxdx.

Ta có tính chất nếu y = f (x) là hàm số chẵn, thì: ∫−aafxdx=2∫0afxdx∫abfxdx=∫−b−afxdx Xét ∫1412f2xdx=10 Đặt t = 2x Þ dt = 2 dx ⇒dx=dt2 Đổi cận: x=12⇒t=1x=14⇒t=12 Suy ra ∫1412f2xdx=∫121ft2dt=10⇒∫121ftdt=∫121fxdx=20 Xét I=∫−π20cosxfsinxdx Đặt t = sin x Þ dt = cos x dx Đổi cận: x=0⇒t=0x=−π2⇒t=−1 Ta có: I=∫−π20cosxfsinxdx=∫−10ftdt =∫−1−12ftdt+∫−120ftdt=∫121fxdx+∫012fxdx = 20 + 3 = 23 Vậy I=∫−π20cosxfsinxdx=23.

Câu hỏi:

13/07/2024 189

Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{1}{2}} f (x) d x = 3; \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = 10$ . Tính $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có tính chất nếu y = f (x) là hàm số chẵn, thì:

$\{\begin{cases} \int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x \\ \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{- b}^{- a} f (x) d x \end{cases}$

Xét $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = 10$

Đặt t = 2x Þ dt = 2 dx $\Rightarrow d x = \frac{d t}{2}$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 1 \\ x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}$

Suy ra $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{2} d t = 10 \Rightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (t) d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (x) d x = 20$

Xét $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x$

Đặt t = sin x Þ dt = cos x dx

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = - \frac{π}{2} \Rightarrow t = - 1 \end{cases}$

Ta có: $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x = \int_{- 1}^{0} f (t) d t$

$= \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} f (t) d t + \int_{- \frac{1}{2}}^{0} f (t) d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} f (x) d x$

= 20 + 3 = 23

Vậy $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x = 23$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 3