Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và thỏa mãn ∫012fxdx=3; ∫1412f2xdx=10. Tính I=∫−π20cosxfsinxdx.

Ta có tính chất nếu y = f (x) là hàm số chẵn, thì: ∫−aafxdx=2∫0afxdx∫abfxdx=∫−b−afxdx Xét ∫1412f2xdx=10 Đặt t = 2x Þ dt = 2 dx ⇒dx=dt2 Đổi cận: x=12⇒t=1x=14⇒t=12 Suy ra ∫1412f2xdx=∫121ft2dt=10⇒∫121ftdt=∫121fxdx=20 Xét I=∫−π20cosxfsinxdx Đặt t = sin x Þ dt = cos x dx Đổi cận: x=0⇒t=0x=−π2⇒t=−1 Ta có: I=∫−π20cosxfsinxdx=∫−10ftdt =∫−1−12ftdt+∫−120ftdt=∫121fxdx+∫012fxdx = 20 + 3 = 23 Vậy I=∫−π20cosxfsinxdx=23.

Câu hỏi:

13/07/2024 157

Cho hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [−1; 1] và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{1}{2}} f (x) d x = 3; \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = 10$ . Tính $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có tính chất nếu y = f (x) là hàm số chẵn, thì:

$\{\begin{cases} \int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x \\ \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{- b}^{- a} f (x) d x \end{cases}$

Xét $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = 10$

Đặt t = 2x Þ dt = 2 dx $\Rightarrow d x = \frac{d t}{2}$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 1 \\ x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}$

Suy ra $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{2} d t = 10 \Rightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (t) d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (x) d x = 20$

Xét $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x$

Đặt t = sin x Þ dt = cos x dx

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = - \frac{π}{2} \Rightarrow t = - 1 \end{cases}$

Ta có: $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x = \int_{- 1}^{0} f (t) d t$

$= \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} f (t) d t + \int_{- \frac{1}{2}}^{0} f (t) d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} f (x) d x$

= 20 + 3 = 23

Vậy $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x = 23$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án » 13/07/2024 14,930

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án » 13/07/2024 12,833

Câu 3:

Tìm m để hàm số y = x³ − 2mx² + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 8,258

Câu 4:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD.

Xem đáp án » 23/08/2023 7,879

Câu 5:

Tính nguyên hàm $\int \frac{d x}{2 \tan x + 1}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 6,886

Câu 6:

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,159

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x³ + 2x² − mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,094

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP