Câu hỏi:
20/09/2023 111
Cho tứ diện đều ABCD có một đường cao AA1. Gọi I là trung điểm AA1. Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.
Cho tứ diện đều ABCD có một đường cao AA1. Gọi I là trung điểm AA1. Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Gọi cạnh của tứ diện đều là a.
Gọi K là trung điểm của CD và E = IK ∩ AB.
Qua A1 kẻ đường thẳng song song với IK cắt AB tại J.
Ta có:
\(\frac{{BJ}}{{BE}} = \frac{{B{A_1}}}{{BK}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{AE}}{{EJ}} = \frac{{AI}}{{L{A_1}}} = 1\) nên suy ra \(AE = \frac{1}{4}AB = \frac{a}{4}\) và \(BE = \frac{{3a}}{4}\).
Gọi M là trung điểm của BE, trong mặt phẳng (ABK) dựng đường trung trực của BE cắt AA1 tại O. Ta dễ dàng chứng minh được O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp EBCD.
Ta có: \(B{A_1} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},A{A_1} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Đặt BE = x.
Tam giác ABA1 đồng dạng với tam giác AOM nên suy ra
\(\frac{{AM}}{{A{A_1}}} = \frac{{OM}}{{BH}} \Rightarrow OM = \frac{{AM \cdot BH}}{{A{A_1}}} = \left( {a - \frac{x}{2}} \right)\sqrt {\frac{1}{2}} {\rm{.\;}}\)
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp EBCD ta suy ra:
\(R = OB = \sqrt {O{M^2} + M{B^2}} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{1}{2}{{\left( {a - \frac{x}{2}} \right)}^2}} .\)
Với \(x = \frac{{3a}}{4}\) ta có:
\(R = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{{64}} + \frac{1}{2}{{\left( {a - \frac{{3a}}{8}} \right)}^2}} = a\sqrt {\frac{{43}}{{128}}} .\)
Tương tự với \(x = \frac{a}{4}\) ta có bán kính R’ của mặt cầu ngoại tiếp EACD là
\(R' = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{64}} + \frac{1}{2}{{\left( {a - \frac{a}{4}} \right)}^2}} = a\sqrt {\frac{{51}}{{128}}} \)
Do đó \(\frac{R}{{R'}} = \sqrt {\frac{{43}}{{51}}} \).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Nước ta có diện tích 331212 km2, dân cư 90 triệu dân. Vậy mật độ dân số nước ta là:
Nước ta có diện tích 331212 km2, dân cư 90 triệu dân. Vậy mật độ dân số nước ta là:
Xem đáp án »
20/09/2023
10,617
Câu 2:
Trong một môn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2 ?
Trong một môn học, Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu (khó, dễ, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2 ?
Xem đáp án »
20/09/2023
9,595
Câu 3:
Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa được chọn tuỳ ý.
Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi 1 khác nhau) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa được chọn tuỳ ý.
Xem đáp án »
20/09/2023
3,696
Câu 5:
Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y - x trên miền xác định bởi hệ \[\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\] là:
Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y - x trên miền xác định bởi hệ \[\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\] là:
Xem đáp án »
20/09/2023
2,240
Câu 6:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 3); N(0; -4); P(-1; 6) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ đỉnh A?
Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 3); N(0; -4); P(-1; 6) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC; CA; AB. Tìm tọa độ đỉnh A?
Xem đáp án »
19/09/2023
1,594
Câu 7:
Cho hình hộp ABCD.A'B'CD' có tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng đỉnh A đều bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C'
Cho hình hộp ABCD.A'B'CD' có tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng đỉnh A đều bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C'
Xem đáp án »
20/09/2023
962
về câu hỏi!