Câu hỏi:

11/07/2024 4,415

b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 CD Bài 5. Khoảng cách có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Vì ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC.

Do SA ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ BD.

Ta có: BD ⊥ SA, BD ⊥ AC và SA ∩ AC = A trong (SAC).

Suy ra BD ⊥ (SAC).

Gọi O = AC ∩ BD, kẻ OK ⊥ SC (K ∈ SC).

Do BD ⊥ (SAC) và OK ⊂ (SAC) nên BD ⊥ OK.

Ta có: OK ⊥ SC và OK ⊥ BD.

Từ đó ta có đoạn thẳng OK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và SC nên d(BD, SC) = OK.

Do ABCD là hình vuông nên $\hat{A B C} = 90 °,$ do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

Suy ra $A C = a \sqrt{2} .$

Do O = AC ∩ BD và AC, BD là hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Suy ra O là trung điểm của AC nên $O C = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Do SA ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ AC.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAC vuông tại A (do SA ⊥ AC) có:

SC² = SA² + AC².

Do đó $S C = \sqrt{a^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{a^{2} + 2 a^{2}} = a \sqrt{3} .$

Xét ∆SAC và ∆OKC có:

$\hat{S A C} = \hat{O K C} = 90 °;$

$\hat{O C K}$ là góc chung

Do đó ∆SAC ᔕ ∆OKC (g.g).

Suy ra $\frac{S A}{O K} = \frac{S C}{O C}$ (tỉ số đồng dạng)

Nên $O K = \frac{S A . O C}{S C} = \frac{a . \frac{a \sqrt{2}}{2}}{a \sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{6} .$

Khi đó $d (B D, S C) = O K = \frac{a \sqrt{6}}{6} .$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC $\frac{a \sqrt{6}}{6} .$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC). Tính d(SA, BC).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC). Tính d(SA, BC). (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét ∆ABC đều có: AI là đường trung tuyến (do I là trung điểm của BC).

Suy ra AI ⊥ BC.

Do SA ⊥ (ABC) và AI ⊂ (ABC) nên SA ⊥ AI.

Ta có: AI ⊥ SA và AI ⊥ BC.

Suy ra đoạn thẳng AI là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BC.

Từ đó ta có d(SA, BC) = AI.

Xét ∆ABC đều cạnh a, có I là trung điểm của BC nên $B I = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2} .$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABI vuông tại I (do AI ⊥ BC) có:

AB² = AI² + BI²

Suy ra $A I = \sqrt{A B^{2} - B I^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Vậy $d (S A, B C) = A I = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Câu 2

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Xem đáp án

Lời giải

c) Kẻ AH ⊥ SD (H ∈ SD).

Do CD ⊥ (SAD) (theo câu a) và AH ⊂ (SAD) nên CD ⊥ AH.

Ta có: AH ⊥ CD, AH ⊥ SD và CD ∩ SD = D trong (SCD).

Suy ra AH ⊥ (SCD).

Khi đó d(A, (SCD)) = AH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAD vuông tại A, đường cao AH có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{2}{a^{2}}$

Suy ra $A H = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Do đó $d (A, (S C D)) = A H = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78).

a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AI ⊥ BC (I ∈ BC), AH ⊥ SI (H ∈ SI). Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp S.ABC có SA = a, góc giữa SA và mp(ABC) là 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SB. Chứng minh MN // (ABC) và tính d(MN, (ABC)).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Bình luận

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC). Tính d(SA, BC).

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78). a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’).

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AI ⊥ BC (I ∈ BC), AH ⊥ SI (H ∈ SI). Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH.

Cho hình chóp S.ABC có SA = a, góc giữa SA và mp(ABC) là 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA và SB. Chứng minh MN // (ABC) và tính d(MN, (ABC)).

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a (Hình 78).

a) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.