Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Khi đó tỉ số $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}$ bằng tỉ số

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác AKD vuông tại K và tam giác CHB vuông tại H có:

AD = BC (do ABCD là hình bình hành)

$\widehat{DAK}=\widehat{BCH}$ (AD // BC, hai góc so le trong)

Do đó, ∆AKD = ∆CHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AK = HC.

Xét hai tam giác AHB và AEC có:

$\widehat{\text{AHB}}=\widehat{\text{AEC}}=90°$

$\widehat{\text{EAC}}$: Góc chung

Do đó, ΔAHB ᔕ ΔAEC (g – g).

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{AH}}{\text{AE}}$.

Suy ra AB ⋅ AE = AC ⋅ AH (1).

Xét hai tam giác ADK và ACF có

$\widehat{\text{AKD}}=\widehat{\text{AFC}}=90°$

$\widehat{\text{FAC}}$: Góc chung

Do đó, ΔADK ᔕ ΔACF (g – g).

Suy ra $\frac{\text{AD}}{\text{AC}}=\frac{\text{AK}}{\text{AF}}$.

Suy ra AD ⋅ AF = AC ⋅ AK (2).

Lấy (1) + (2) ta được AB ⋅ AE + AD ⋅ AF = AC ⋅ AH + AC ⋅ AK

Lại có AC ⋅ AH + AC ⋅ AK = AC ⋅ (AH + AK) = AC ⋅ (AH + HC) = AC ⋅ AC = AC².

Vậy AB ⋅ AE + AD ⋅ AF = AC².