Cho dãy số (u_n) được xác định như sau: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=0\\ u_{n+1}=\frac{n}{n+1}(u_n+1)\end{array}\right.$ . Số hạng u₁₁ là

Đáp án đúng là: D

Ta tính được u₂ =    $\frac{1}{1+1}\cdot \left(0+1\right)=\frac{1}{2}$    

Ta có:

u_{n + 1}.(n + 1) = (u_n + 1).n = n + u_n­.n;

u_n.n = (u_{n – 1} + 1).(n – 1);

…

u₂.2 = (u₁ + 1).1 = 1 + u_1­.1

Þ u_{n + 1}.(n + 1) = n + (u _{n – 1} + 1).(n – 1) = n + (n – 1) + u _{n – 1}.(n – 1);

     u_n-1.(n – 1) = (n – 2) + (n – 3) + u_{n – 3}.(n – 3);

     …

     u₄.4 = 3 + 2 + u₂.2 = 3 + 2 + 1;

     u₃.3 = 2 + 1 + u₁.1 = 2 + 1;

+) Nếu n + 1 chia hết cho 2 thì

u_{n + 1}.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = $\frac{n.\left(n+1\right)}{2}$ .

Suy ra  $u_{n+1}=\frac{n}{2}$.

+) Nếu n + 1 không chia hết cho 2 thì:

u_{n + 1}.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1 =$\frac{n.\left(n+1\right)}{2}$ .

Suy ra $u_{n+1}=\frac{n}{2}$  .

Suy ra công thức tổng quát $u_{n+1}=\frac{n}{2}$   đúng với cả 2 trường hợp.

Vậy số hạng thứ 11 của dãy là: $u_{11}=\frac{10}{2}=5$ .