Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.

Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến: AN2=AB2+AD22−BD24 ⇒ AB2 + AD2 = 2AN2 + BD22(1) Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến: CN2=CD2+CB22−BD24 ⇒ CB2 + CD2 = 2CN2 + BD22 (2) Cộng (1) với (2) ta được: AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = 2AN2 + 2CN2 + BD2 (3) Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến: MN2=CN2+AN22−AC24 ⇒ AN2 + CN2 = 2MN2 + AC22 (4) Thay (4) vào (3) ta được: AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = 2.(2MN2 + AC22) + BD2 = 4MN2 + AC2 + BD2 Vậy B2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.

Câu hỏi:

11/07/2024 2,849

Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD.

Chứng minh: AB²+ BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2. (ảnh 1)

Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến:

$A N^{2} = \frac{A B^{2} + A D^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4}$

⇒ AB² + AD² = 2AN² + $\frac{B D^{2}}{2}$ (1)

Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến:

$C N^{2} = \frac{C D^{2} + C B^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4}$

⇒ CB² + CD² = 2CN² + $\frac{B D^{2}}{2}$ (2)

Cộng (1) với (2) ta được: AB² + AD² + CB² + CD² = 2AN² + 2CN² + BD²(3)

Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến:

$M N^{2} = \frac{C N^{2} + A N^{2}}{2} - \frac{A C^{2}}{4}$

⇒ AN² + CN² = 2MN² + $\frac{A C^{2}}{2}$ (4)

Thay (4) vào (3) ta được:

AB² + AD² + CB² + CD² = 2.(2MN² + $\frac{A C^{2}}{2}$ ) + BD² = 4MN² + AC² + BD²

Vậy B²+ BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu $\vec{A M} - \vec{A N}, \vec{M N} - \vec{N C}, \vec{M N} - \vec{P N}, \vec{B P} - \vec{C P}$

Xem đáp án » 18/02/2024 16,853

Câu 2:

Tìm m để A giao B bằng rỗng biết A = [m; m + 1] và B = (-1; 3).

Xem đáp án » 12/07/2024 14,144

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ + 2x² + (m − 3)x + m

có hai điểm cực trị và điểm M(9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Xem đáp án » 12/07/2024 9,412

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, CD. Chứng minh MN // (SBC).

Xem đáp án » 11/07/2024 7,586

Câu 5:

Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo theo rađian của cung đó là?

Xem đáp án » 12/07/2024 6,018

Câu 6:

Giải phương trình sin3x – cos2x = 0.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,210

Câu 7:

Cho $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} = 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{a + c} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0$

Xem đáp án » 12/07/2024 5,030

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.

Nhà sách VIETJACK:

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu AM→−AN→,MN→−NC→,MN→−PN→,BP→−CP→

Tìm m để A giao B bằng rỗng biết A = [m; m + 1] và B = (-1; 3).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 + (m − 3)x + m có hai điểm cực trị và điểm M(9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, CD. Chứng minh MN // (SBC).

Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo theo rađian của cung đó là?

Giải phương trình sin3x – cos2x = 0.

Cho ab+c+ba+c+ca+b=1 . Chứng minh rằng a2b+c+b2a+c+c2a+b=0

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD.

Chứng minh: AB²+ BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu $\vec{A M} - \vec{A N}, \vec{M N} - \vec{N C}, \vec{M N} - \vec{P N}, \vec{B P} - \vec{C P}$

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ + 2x² + (m − 3)x + m

có hai điểm cực trị và điểm M(9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Cho $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} = 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{a + c} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0$