Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.

Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến: AN2=AB2+AD22−BD24 ⇒ AB2 + AD2 = 2AN2 + BD22(1) Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến: CN2=CD2+CB22−BD24 ⇒ CB2 + CD2 = 2CN2 + BD22 (2) Cộng (1) với (2) ta được: AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = 2AN2 + 2CN2 + BD2 (3) Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến: MN2=CN2+AN22−AC24 ⇒ AN2 + CN2 = 2MN2 + AC22 (4) Thay (4) vào (3) ta được: AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = 2.(2MN2 + AC22) + BD2 = 4MN2 + AC2 + BD2 Vậy B2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.

Câu hỏi:

11/07/2024 3,111

Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD.

Chứng minh: AB²+ BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2. (ảnh 1)

Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến:

$A N^{2} = \frac{A B^{2} + A D^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4}$

⇒ AB² + AD² = 2AN² + $\frac{B D^{2}}{2}$ (1)

Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến:

$C N^{2} = \frac{C D^{2} + C B^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4}$

⇒ CB² + CD² = 2CN² + $\frac{B D^{2}}{2}$ (2)

Cộng (1) với (2) ta được: AB² + AD² + CB² + CD² = 2AN² + 2CN² + BD²(3)

Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến:

$M N^{2} = \frac{C N^{2} + A N^{2}}{2} - \frac{A C^{2}}{4}$

⇒ AN² + CN² = 2MN² + $\frac{A C^{2}}{2}$ (4)

Thay (4) vào (3) ta được:

AB² + AD² + CB² + CD² = 2.(2MN² + $\frac{A C^{2}}{2}$ ) + BD² = 4MN² + AC² + BD²

Vậy B²+ BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu $\vec{A M} - \vec{A N}, \vec{M N} - \vec{N C}, \vec{M N} - \vec{P N}, \vec{B P} - \vec{C P}$

Xem đáp án » 18/02/2024 17,599

Câu 2:

Tìm m để A giao B bằng rỗng biết A = [m; m + 1] và B = (-1; 3).

Xem đáp án » 12/07/2024 14,835

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ + 2x² + (m − 3)x + m

có hai điểm cực trị và điểm M(9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Xem đáp án » 12/07/2024 9,698

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, CD. Chứng minh MN // (SBC).

Xem đáp án » 11/07/2024 8,254

Câu 5:

Cho $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} = 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{a + c} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0$

Xem đáp án » 12/07/2024 6,711

Câu 6:

Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo theo rađian của cung đó là?

Xem đáp án » 12/07/2024 6,077

Câu 7:

Giải phương trình sin3x – cos2x = 0.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,432

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP