Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.

Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến: AN2=AB2+AD22−BD24 ⇒ AB2 + AD2 = 2AN2 + BD22(1) Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến: CN2=CD2+CB22−BD24 ⇒ CB2 + CD2 = 2CN2 + BD22 (2) Cộng (1) với (2) ta được: AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = 2AN2 + 2CN2 + BD2 (3) Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến: MN2=CN2+AN22−AC24 ⇒ AN2 + CN2 = 2MN2 + AC22 (4) Thay (4) vào (3) ta được: AB2 + AD2 + CB2 + CD2 = 2.(2MN2 + AC22) + BD2 = 4MN2 + AC2 + BD2 Vậy B2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.

Câu hỏi:

11/07/2024 3,465

Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD.

Chứng minh: AB²+ BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2. (ảnh 1)

Trong tam giác ABD ta có AN là đường trung tuyến:

$A N^{2} = \frac{A B^{2} + A D^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4}$

⇒ AB² + AD² = 2AN² + $\frac{B D^{2}}{2}$ (1)

Trong tam giác CBD có CN là đường trung tuyến:

$C N^{2} = \frac{C D^{2} + C B^{2}}{2} - \frac{B D^{2}}{4}$

⇒ CB² + CD² = 2CN² + $\frac{B D^{2}}{2}$ (2)

Cộng (1) với (2) ta được: AB² + AD² + CB² + CD² = 2AN² + 2CN² + BD²(3)

Xét tam giác CAN có NM là trung tuyến:

$M N^{2} = \frac{C N^{2} + A N^{2}}{2} - \frac{A C^{2}}{4}$

⇒ AN² + CN² = 2MN² + $\frac{A C^{2}}{2}$ (4)

Thay (4) vào (3) ta được:

AB² + AD² + CB² + CD² = 2.(2MN² + $\frac{A C^{2}}{2}$ ) + BD² = 4MN² + AC² + BD²

Vậy B²+ BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN².

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu $\vec{A M} - \vec{A N}, \vec{M N} - \vec{N C}, \vec{M N} - \vec{P N}, \vec{B P} - \vec{C P}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu am - an, mn - nc , mn - pn, bp - cp (ảnh 1)

* $\vec{A M} - \vec{A N} = \vec{A M} + \vec{N A} = \vec{N M}$

N là trung điểm AC nên $\vec{A N} = \vec{N C}$

* $\vec{M N} - \vec{N C} = \vec{M N} - \vec{A N} = \vec{M N} + \vec{N A} = \vec{M A}$

Xét tam giác ABC có: M, N là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình

Suy ra: MN // BC; $M N = \frac{1}{2} B C = B P = P C$

=> $\vec{M N} = \vec{P C}$

* $\vec{M N} - \vec{P N} = \vec{P C} - \vec{P N} = \vec{N C}$

* $\vec{B P} - \vec{C P} = \vec{B P} + \vec{P C} = \vec{B C}$

Câu 2

Tìm m để A giao B bằng rỗng biết A = [m; m + 1] và B = (-1; 3).

Xem đáp án

Lời giải

Để A ∩ B = ∅ thì:

[\begin{array}{l} m + 1 \leq - 1 \\ m \geq 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 2 \\ m \geq 3 \end{array}

Câu 3