cho hình bình hành ABCD, đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD, kẻ CH vuông góc với AD, CK vuông góc với AB.

a, Chứng minh tam giác BCK đồng dạng tam giác DCH.

b, Chứng minh tam giác CKH đồng dạng tam giác BCA.

c, Chứng minh HK = AC.sin$\widehat{BAD}$

d, Tính diện tích của tứ giác AKCH nếu , AB = 4cm, AC = 5cm.

a) Ta có: $\widehat{KBC}=\widehat{BAD}$ (2 góc ở vị trí so le trong)

Mà $\widehat{CDH}=\widehat{BAD}$ (2 góc đồng vị)

Suy ra: $\widehat{CDH}=\widehat{KBC}$

Xét tam giác BCK và DCH có

$$\begin{gathered} \widehat{CDH}=\widehat{KBC} \\ \widehat{K}=\widehat{H}=90° \end{gathered}$$

⇒ ∆BCK ~ ∆DCH (g.g)

b) Tứ giác AKCH có: $\widehat{AKC}+\widehat{AHC}=90°+90°=180°$ 

Suy ra: AKCH nội tiếp đường tròn đường kính AC

Suy ra: $\widehat{KAC}=\widehat{KHC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (1)

Và $\widehat{CKH}=\widehat{CHA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HC)

Mà $\widehat{HAC}=\widehat{BCA}$ (2 góc so le trong)

⇒ $\widehat{CKH}=\widehat{BCA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tam giác CKH đồng dạng tam giác BCA (g.g)

c) Do ∆BCK ∽ ∆DCH (g.g) nên $\frac{CK}{CH}=\frac{BC}{DC}\left(3\right)$

∆CKH ∽ ∆BCA (g.g) nên $\frac{CK}{BC}=\frac{KH}{AC}\left(4\right)$

Từ (3): $\frac{CK}{BC}=\frac{CH}{DC}\left(5\right)$

Từ (4) và (5); $\frac{CK}{BC}=\frac{KH}{AC}=\frac{CH}{DC}=\sin \widehat{CDH}$

Mà $\widehat{CDH}=\widehat{BAD}$ (đồng vị)

Nên: $\frac{KH}{AC}=\sin \widehat{BAD}$ hay HK = AC.sin

d) $\widehat{CDH}=\widehat{BAD}=60°$

DC = AB = 4

Tam giác DHC vuông có: $\sin \widehat{CDH}=\frac{CH}{DC}\Rightarrow CH=DC.\sin \widehat{CDH}=4.\sin 60°=2\sqrt{3}$

$DH=\sqrt{D{C}^2-C{H}^2}=\sqrt{4^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=2$

AH = AD + DH = 5 + 2 = 7

$S_{AHC}=\frac{1}{2}.AH.CH=\frac{1}{2}\mathrm{.7.2}\sqrt{3}=7\sqrt{3}$

BC = AD = 5

$\sin \widehat{KBC}=\frac{KC}{BC}\Rightarrow KC=BC.\sin \widehat{KBC}=BC.\sin \widehat{CDH}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$BK=\sqrt{B{C}^2-K{C}^2}=\frac{5}{2}$

AK = AB + BK = $\frac{13}{2}$

$S_{ACK}=\frac{1}{2}.AK.CK=\frac{1}{2}.\frac{13}{2}.\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{65\sqrt{3}}{8}$