Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2025. Chứng minh rằng a2−bca2+2025+b2−cab2+2025+c2−abc2+2025=0.

Ta có: a2+2025=a2+ab+bc+ca=a+bc+a Khi đó a2−bca2+2025=a2−bca+bc+a. Tương tự ta cũng có: b2−cab2+2025=b2−caa+bb+c; c2−abc2+2025=c2−abb+cc+a Suy ra P=a2−bca2+2025+b2−cab2+2025+c2−abc2+2025 =a2−bca+bc+a+b2−cab+ca+b+c2−abc+ab+c =a2−bcb+c+b2−cac+a+c2−aba+ba+bb+cc+a =a2b+a2c−b2c−bc2+b2c+b2a−c2a−ca2+c2a+c2b−a2b−ab2a+bb+cc+a=0.

Câu hỏi:

12/07/2024 11,192

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2025. Chứng minh rằng

$\frac{a^{2} - b c}{a^{2} + 2025} + \frac{b^{2} - c a}{b^{2} + 2025} + \frac{c^{2} - a b}{c^{2} + 2025} = 0$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Giữa kì 1 Toán 8 CD có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $a^{2} + 2025 = a^{2} + a b + b c + c a = (a + b) (c + a)$

Khi đó $\frac{a^{2} - b c}{a^{2} + 2025} = \frac{a^{2} - b c}{(a + b) (c + a)} .$

Tương tự ta cũng có: $\frac{b^{2} - c a}{b^{2} + 2025} = \frac{b^{2} - c a}{(a + b) (b + c)}; \frac{c^{2} - a b}{c^{2} + 2025} = \frac{c^{2} - a b}{(b + c) (c + a)}$

Suy ra $P = \frac{a^{2} - b c}{a^{2} + 2025} + \frac{b^{2} - c a}{b^{2} + 2025} + \frac{c^{2} - a b}{c^{2} + 2025}$

$= \frac{a^{2} - b c}{(a + b) (c + a)} + \frac{b^{2} - c a}{(b + c) (a + b)} + \frac{c^{2} - a b}{(c + a) (b + c)}$

$= \frac{(a^{2} - b c) (b + c) + (b^{2} - c a) (c + a) + (c^{2} - a b) (a + b)}{(a + b) (b + c) (c + a)}$

$= \frac{a^{2} b + a^{2} c - b^{2} c - b c^{2} + b^{2} c + b^{2} a - c^{2} a - c a^{2} + c^{2} a + c^{2} b - a^{2} b - a b^{2}}{(a + b) (b + c) (c + a)} = 0$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bạn Nam đo một chiếc đèn thả trang trí như hình vẽ bên thì nhận thấy các cạnh đều có cùng độ dài là 20 cm.

a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.

b) Tính diện tích xung quanh của chiếc đèn.
c) Bạn Nam đọc và thấy rằng khi treo đèn thì khoảng cách từ đáy của đèn cách mặt trền là 1 m là tốt nhất. Vậy bạn Nam cần đưa đoạn dây điện từ đầu đèn (vị trí A) tới mặt trần là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn Nam đo một chiếc đèn thả trang trí như hình vẽ bên thì nhận thấy các cạnh đều có cùng độ dài là 20 cm. a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp. (ảnh 2)

a) Chiếc đèn được mô phỏng thành hình chóp tam giác đều ABCD như hình vẽ. Gọi AH là trung đoạn kẻ từ đỉnh A của hình chóp.

Theo bài ta có: $A B = A C = A D = 20$ cm

$B C = C D = D B = 20$ cm.

$Δ A C D$ đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Do đó $D H = C H = \frac{1}{2} C D = 10$ cm.

Xét $Δ A H C$ vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

$A H^{2} = A C^{2} - C H^{2} = 20^{2} - 10^{2} = 300$

Suy ra

A H = \sqrt{300} = \sqrt{100.3} = \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2}} = 10 \sqrt{3}

cm.

b) Chu vi đáy của hình chóp là: $C = 3 B D = 3.20 = 60$ cm.

Diện tích xung quanh của chiếc đèn là:

$S_{x q} = \frac{1}{2} C . A H = \frac{1}{2} .60.10 \sqrt{3} = 300 \sqrt{3}$ cm².

c) Vì $Δ A D C$ và $Δ B D C$ đều là các tam giác đều có cạnh 20 cm nên hai đường cao AH và BH của hai tam giác bằng nhau.

Vì O là trọng tâm $Δ B D C$ nên $O H = \frac{1}{3} B H = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$ cm.

$Δ A O H$ vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:

$A O^{2} = A H^{2} - O H^{2} = 300 - {(\frac{10 \sqrt{3}}{3})}^{2} = 300 - \frac{300}{9} = \frac{800}{3}$

Suy ra $A O = \sqrt{\frac{800}{3}} \approx 16,3$ cm.

Khi đó bạn Nam cần đưa dây diện từ đầu đèn tới trần nhà khoảng là $100 - 16,3 = 83,7$ cm.

Câu 2

Cho tứ giác ABCD biết $\hat{A} = 75 °$ , $\hat{B} = 90 °$ , $\hat{C} = 120 °$ . Tính số đo các góc ngoài tại đỉnh D của tứ giác ABCD.

Xem đáp án

Lời giải

Xét tứ giác ABCD, ta có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360 °$

Do đó $75 ° + 90 ° + 120 ° + \hat{D} = 360 °$

Hay $285 ° + \hat{D} = 360 °$

Suy ra $\hat{D} = 360 ° - 285 ° = 75 °$

Khi đó góc ngoài tại đỉnh D của tứ giác là $180 ° - 75 ° = 105 ° .$

Câu 3

Hằng đẳng thức $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ có tên là

A. bình phương của một tổng;

B. bình phương của một hiệu;

C. tổng hai bình phương;

D. hiệu hai bình phương.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Tìm biểu thức C sao cho C = A - B với $B = \frac{x}{x - 2} + \frac{9 x + 2}{4 - x^{2}}$ $(x \neq \pm 2) .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Biểu thức nào sau đây là đơn thức thu gọn?

A. $- 5 x y^{2}$

B. $x y z + x z$

C. $2 (x^{2} + y^{2})$

D. $- 3 x 4 y x z$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Thu gọn biểu thức:

    a) $65 x^{9} y^{5} : (- 13 x^{4} y^{4});$

    b) $x (x - y) - y (y^{2} - x);$

    c) $(x - y) (x^{2} + y^{2}) - (x^{4} y - x y^{4}) : x y$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2025. Chứng minh rằng a2−bca2+2025+b2−cab2+2025+c2−abc2+2025=0.

Bình luận

Cho tứ giác ABCD biết A ^=75° , B ^=90° , C ^=120° . Tính số đo các góc ngoài tại đỉnh D của tứ giác ABCD.

Hằng đẳng thức A2−B2=A−BA+B có tên là

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A b) Tìm biểu thức C sao cho C = A - B với B=xx−2+9x+24−x2 x≠±2.

Biểu thức nào sau đây là đơn thức thu gọn?

Thu gọn biểu thức: a) 65x9y5:−13x4y4; b) xx−y−yy2−x; c) x−yx2+y2−x4y−xy4:xy .

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2025. Chứng minh rằng

$\frac{a^{2} - b c}{a^{2} + 2025} + \frac{b^{2} - c a}{b^{2} + 2025} + \frac{c^{2} - a b}{c^{2} + 2025} = 0$ .

Cho tứ giác ABCD biết $\hat{A} = 75 °$ , $\hat{B} = 90 °$ , $\hat{C} = 120 °$ . Tính số đo các góc ngoài tại đỉnh D của tứ giác ABCD.

Hằng đẳng thức $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ có tên là

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Tìm biểu thức C sao cho C = A - B với $B = \frac{x}{x - 2} + \frac{9 x + 2}{4 - x^{2}}$ $(x \neq \pm 2) .$

Thu gọn biểu thức:

a) $65 x^{9} y^{5} : (- 13 x^{4} y^{4});$

b) $x (x - y) - y (y^{2} - x);$

c) $(x - y) (x^{2} + y^{2}) - (x^{4} y - x y^{4}) : x y$ .