Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2025. Chứng minh rằng

$\frac{a^2-bc}{a^2+2025}+\frac{b^2-ca}{b^2+2025}+\frac{c^2-ab}{c^2+2025}=0$.

a) Chiếc đèn được mô phỏng thành hình chóp tam giác đều ABCD như hình vẽ. Gọi AH là trung đoạn kẻ từ đỉnh A của hình chóp.

Theo bài ta có: $AB=AC=AD=20$  cm

$BC=CD=DB=20$ cm.

$\Delta ACD$ đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Do đó $DH=CH=\frac{1}{2}CD=10$  cm.

Xét $\Delta AHC$  vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

$A{H}^2=A{C}^2-C{H}^2={20}^2-{10}^2=300$

b) Chu vi đáy của hình chóp là: $C=3BD=3.20=60$  cm.

Diện tích xung quanh của chiếc đèn là:

$S_{xq}=\frac{1}{2}C.AH=\frac{1}{2}\mathrm{.60.10}\sqrt{3}=300\sqrt{3}$cm².

c) Vì $\Delta ADC$  và $\Delta BDC$  đều là các tam giác đều có cạnh 20 cm nên hai đường cao AH và BH của hai tam giác bằng nhau.

Vì O là trọng tâm $\Delta BDC$  nên $OH=\frac{1}{3}BH=\frac{10\sqrt{3}}{3}$  cm.

$\Delta AOH$vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:

$A{O}^2=A{H}^2-O{H}^2=300-{\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)}^2=300-\frac{300}{9}=\frac{800}{3}$

Suy ra $AO=\sqrt{\frac{800}{3}}\approx \mathrm{16,3}$  cm.

Khi đó bạn Nam cần đưa dây diện từ đầu đèn tới trần nhà khoảng là $100-\mathrm{16,3}=\mathrm{83,7}$  cm.