Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm C nằm trên đường tròn. Đường thẳng song song với AC kẻ từ (O) cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại D. Chứng minh:

a) $\widehat{COD}=\widehat{BOD}$.

b) BD là tiếp tuyến của (O).

c) AC.OD = 2R².

Lớp 10A có 15 học sinh học giỏi môn Toán, 20 học sinh giỏi môn Văn, trong đó có 10 học sinh học giỏi cả 2 môn Toán và Văn. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng thì bạn đó phải là học sinh giỏi Toán học hoặc Văn?

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi C là giao điểm của OM và AB. Vẽ đường kính AD của (O; R). Gọi Q là giao điểm khác D của MD và (O; R). Chứng minh:

a) Các điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

b) MQ.MD = MC.MO.

Một người đang ở trên một cái tháp có chiều cao h = 100 m nhìn xuống một con đường chạy thẳng đến chân tháp. Anh ta nhìn thấy một chiếc xe máy với góc hạ 30°. Sáu phút sau lại nhìn thấy nó với góc hạ 60°. Hỏi sau bao nhiêu phút thì xe máy đến chân tháp? Cho biết vận tốc xe máy không đổi.

Tính tổng 1² + 2² + … + n².

Cho $\widehat{xOy}$= 60°. Từ điểm A thuộc tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$, vẽ đường thẳng song song với Ox cắt Oy ở B và vẽ đường thẳng song song với Oy cắt Ox ở C.

(1) Tính $\widehat{COA}$ và $\widehat{AOB}$.

(2) Tính $\widehat{BAO}$ và $\widehat{OAC}$.

(3) Chứng minh: AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Tính $T=\cos \frac{\pi }{7}-\cos \frac{2\pi }{7}+\cos \frac{3\pi }{7}$.

Chứng minh công thức $\cot 2a=\frac{{\cot }^{2}a-1}{2\cot a}$.