Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh 11+a2+11+b2≥21+ab.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a2+b2+21+a21+b2≥21+ab. ⇔ (a2 + b2 + 2)(ab + 1) ≥ 2(a2b2 + a2 + b2 + 1) ⇔ a3b + a2 + ab3 + b2 + 2ab + 2 ≥ 2a2b2 + 2a2 + 2b2 + 2 ⇔ a3b + ab3 + 2ab ≥ 2a2b2 + a2 + b2 ⇔ ab(a2 + b2 – 2ab) – (a2 + b2 – 2ab) ≥ 0 ⇔ (a2 + b2 – 2ab)(ab – 1) ≥ 0 ⇔ (a – b)2(ab – 1) ≥ 0 Vì ab ≥ 1 nên ab – 1 ≥ 0 Suy ra: (a – b)2(ab – 1) ≥ 0 Vậy điều này luôn đúng Do đó ta có đpcm. Vậy a2+b2+21+a21+b2≥21+ab (dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc ab = 1).

Câu hỏi:

11/07/2024 633

Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + a b}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{a^{2} + b^{2} + 2}{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \geq \frac{2}{1 + a b}$ .

⇔ (a² + b² + 2)(ab + 1) ≥ 2(a²b² + a² + b² + 1)

⇔ a³b + a² + ab³ + b² + 2ab + 2 ≥ 2a²b² + 2a² + 2b² + 2

⇔ a³b + ab³ + 2ab ≥ 2a²b² + a² + b²

⇔ ab(a² + b² – 2ab) – (a² + b² – 2ab) ≥ 0

⇔ (a² + b² – 2ab)(ab – 1) ≥ 0

⇔ (a – b)²(ab – 1) ≥ 0

Vì ab ≥ 1 nên ab – 1 ≥ 0

Suy ra: (a – b)²(ab – 1) ≥ 0

Vậy điều này luôn đúng

Do đó ta có đpcm.

Vậy $\frac{a^{2} + b^{2} + 2}{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \geq \frac{2}{1 + a b}$ (dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc ab = 1).

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276. Tích của bốn số đó là?

Xem đáp án » 12/07/2024 22,965

Câu 2:

Cách giải bài toán đường thằg song song với trục hoành.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,426

Câu 3:

Bạn Việt mang 100000 đồng ra chợ mua hoa cúc và hoa hồng. Một bông hoa cúc có giá 3000 đồng, một bông hoa hồng có giá 6000 đồng. Gọi x và y lần lượt là số bông hoa cúc và số bông hoa hồng bạn Việt mua. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để biểu diễn số tiền Việt mua hoa cúc và hoa hồng là?

Xem đáp án » 12/07/2024 4,883

Câu 4:

Một tòa nhà có chiều cao h (m). Khi tia nắng tạo với mặt đất một góc 55 độ thì bóng của tòa nhà trên mặt đất dài 15 m. Tính chiều cao h của tòa nhà.

Xem đáp án » 12/07/2024 4,585

Câu 5:

Tìm x biết: 2x – 3 = $x + \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 4,154

Câu 6:

Cho bản đồ tỷ lệ 1:25000, tính khoảng cách thực tế với 1cm; 2cm; 2,5cm.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,685

Câu 7:

Tìm x biết 84 chia hết cho x, 180 chia hết cho x và x ≥ 6.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,397

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP