Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh 11+a2+11+b2≥21+ab.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a2+b2+21+a21+b2≥21+ab. ⇔ (a2 + b2 + 2)(ab + 1) ≥ 2(a2b2 + a2 + b2 + 1) ⇔ a3b + a2 + ab3 + b2 + 2ab + 2 ≥ 2a2b2 + 2a2 + 2b2 + 2 ⇔ a3b + ab3 + 2ab ≥ 2a2b2 + a2 + b2 ⇔ ab(a2 + b2 – 2ab) – (a2 + b2 – 2ab) ≥ 0 ⇔ (a2 + b2 – 2ab)(ab – 1) ≥ 0 ⇔ (a – b)2(ab – 1) ≥ 0 Vì ab ≥ 1 nên ab – 1 ≥ 0 Suy ra: (a – b)2(ab – 1) ≥ 0 Vậy điều này luôn đúng Do đó ta có đpcm. Vậy a2+b2+21+a21+b2≥21+ab (dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc ab = 1).

Câu hỏi:

11/07/2024 1,386

Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + a b}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{a^{2} + b^{2} + 2}{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \geq \frac{2}{1 + a b}$ .

⇔ (a² + b² + 2)(ab + 1) ≥ 2(a²b² + a² + b² + 1)

⇔ a³b + a² + ab³ + b² + 2ab + 2 ≥ 2a²b² + 2a² + 2b² + 2

⇔ a³b + ab³ + 2ab ≥ 2a²b² + a² + b²

⇔ ab(a² + b² – 2ab) – (a² + b² – 2ab) ≥ 0

⇔ (a² + b² – 2ab)(ab – 1) ≥ 0

⇔ (a – b)²(ab – 1) ≥ 0

Vì ab ≥ 1 nên ab – 1 ≥ 0

Suy ra: (a – b)²(ab – 1) ≥ 0

Vậy điều này luôn đúng

Do đó ta có đpcm.

Vậy $\frac{a^{2} + b^{2} + 2}{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \geq \frac{2}{1 + a b}$ (dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc ab = 1).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276. Tích của bốn số đó là?

Xem đáp án

Lời giải

Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276. Tích của bốn số đó là? (ảnh 1)

Câu 2

Cách giải bài toán đường thằg song song với trục hoành.

Xem đáp án

Lời giải

Đường thẳng song song trục Ox có phương trình y = c khác 0 (c là hằng số) nên để đường thẳng có dạng y = ax + b song song với trục Ox thì a = 0 và b ≠ 0

Khi đó đường thẳng trở thành y = b và song song trục Ox.

Ví dụ: Cho đường thẳng d có phương trình (m - 2)x + (3m - 1)y = 6m – 2. Tìm các giá trị của tham số m để d song song với trục hoành.

Ta có: d: (m - 2)x + (3m - 1)y = 6m – 2

⇔ (3m - 1)y = -(m – 2)x + 6m - 2

Để d // Ox thì a = 0 và b ≠ 0, tức là:

$\{\begin{cases} - (m - 2) = 0 \\ 6 m - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = 2$

Vậy m = 2 thì ta có phương trình d: y = 2 song song với trục hoành.

Câu 3