Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh 11+a2+11+b2≥21+ab.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a2+b2+21+a21+b2≥21+ab. ⇔ (a2 + b2 + 2)(ab + 1) ≥ 2(a2b2 + a2 + b2 + 1) ⇔ a3b + a2 + ab3 + b2 + 2ab + 2 ≥ 2a2b2 + 2a2 + 2b2 + 2 ⇔ a3b + ab3 + 2ab ≥ 2a2b2 + a2 + b2 ⇔ ab(a2 + b2 – 2ab) – (a2 + b2 – 2ab) ≥ 0 ⇔ (a2 + b2 – 2ab)(ab – 1) ≥ 0 ⇔ (a – b)2(ab – 1) ≥ 0 Vì ab ≥ 1 nên ab – 1 ≥ 0 Suy ra: (a – b)2(ab – 1) ≥ 0 Vậy điều này luôn đúng Do đó ta có đpcm. Vậy a2+b2+21+a21+b2≥21+ab (dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc ab = 1).

Câu hỏi:

11/07/2024 386

Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + a b}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{a^{2} + b^{2} + 2}{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \geq \frac{2}{1 + a b}$ .

⇔ (a² + b² + 2)(ab + 1) ≥ 2(a²b² + a² + b² + 1)

⇔ a³b + a² + ab³ + b² + 2ab + 2 ≥ 2a²b² + 2a² + 2b² + 2

⇔ a³b + ab³ + 2ab ≥ 2a²b² + a² + b²

⇔ ab(a² + b² – 2ab) – (a² + b² – 2ab) ≥ 0

⇔ (a² + b² – 2ab)(ab – 1) ≥ 0

⇔ (a – b)²(ab – 1) ≥ 0

Vì ab ≥ 1 nên ab – 1 ≥ 0

Suy ra: (a – b)²(ab – 1) ≥ 0

Vậy điều này luôn đúng

Do đó ta có đpcm.

Vậy $\frac{a^{2} + b^{2} + 2}{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \geq \frac{2}{1 + a b}$ (dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc ab = 1).

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276. Tích của bốn số đó là?

Xem đáp án » 12/07/2024 18,963

Câu 2:

Bạn Việt mang 100000 đồng ra chợ mua hoa cúc và hoa hồng. Một bông hoa cúc có giá 3000 đồng, một bông hoa hồng có giá 6000 đồng. Gọi x và y lần lượt là số bông hoa cúc và số bông hoa hồng bạn Việt mua. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để biểu diễn số tiền Việt mua hoa cúc và hoa hồng là?

Xem đáp án » 12/07/2024 4,545

Câu 3:

Cách giải bài toán đường thằg song song với trục hoành.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,715

Câu 4:

Tìm x biết: 2x – 3 = $x + \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 3,685

Câu 5:

Một tòa nhà có chiều cao h (m). Khi tia nắng tạo với mặt đất một góc 55 độ thì bóng của tòa nhà trên mặt đất dài 15 m. Tính chiều cao h của tòa nhà.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,264

Câu 6:

Biến đổi thành tích 2sin4x + $\sqrt{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 3,105

Câu 7:

Cho bản đồ tỷ lệ 1:25000, tính khoảng cách thực tế với 1cm; 2cm; 2,5cm.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,485

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.