Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh 11+a2+11+b2≥21+ab.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a2+b2+21+a21+b2≥21+ab. ⇔ (a2 + b2 + 2)(ab + 1) ≥ 2(a2b2 + a2 + b2 + 1) ⇔ a3b + a2 + ab3 + b2 + 2ab + 2 ≥ 2a2b2 + 2a2 + 2b2 + 2 ⇔ a3b + ab3 + 2ab ≥ 2a2b2 + a2 + b2 ⇔ ab(a2 + b2 – 2ab) – (a2 + b2 – 2ab) ≥ 0 ⇔ (a2 + b2 – 2ab)(ab – 1) ≥ 0 ⇔ (a – b)2(ab – 1) ≥ 0 Vì ab ≥ 1 nên ab – 1 ≥ 0 Suy ra: (a – b)2(ab – 1) ≥ 0 Vậy điều này luôn đúng Do đó ta có đpcm. Vậy a2+b2+21+a21+b2≥21+ab (dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc ab = 1).

Câu hỏi:

11/07/2024 1,158

Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + a b}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{a^{2} + b^{2} + 2}{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \geq \frac{2}{1 + a b}$ .

⇔ (a² + b² + 2)(ab + 1) ≥ 2(a²b² + a² + b² + 1)

⇔ a³b + a² + ab³ + b² + 2ab + 2 ≥ 2a²b² + 2a² + 2b² + 2

⇔ a³b + ab³ + 2ab ≥ 2a²b² + a² + b²

⇔ ab(a² + b² – 2ab) – (a² + b² – 2ab) ≥ 0

⇔ (a² + b² – 2ab)(ab – 1) ≥ 0

⇔ (a – b)²(ab – 1) ≥ 0

Vì ab ≥ 1 nên ab – 1 ≥ 0

Suy ra: (a – b)²(ab – 1) ≥ 0

Vậy điều này luôn đúng

Do đó ta có đpcm.

Vậy $\frac{a^{2} + b^{2} + 2}{(1 + a^{2}) (1 + b^{2})} \geq \frac{2}{1 + a b}$ (dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc ab = 1).

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276. Tích của bốn số đó là?

Xem đáp án » 12/07/2024 24,923

Câu 2:

Cách giải bài toán đường thằg song song với trục hoành.

Xem đáp án » 12/07/2024 10,685

Câu 3:

Một tòa nhà có chiều cao h (m). Khi tia nắng tạo với mặt đất một góc 55 độ thì bóng của tòa nhà trên mặt đất dài 15 m. Tính chiều cao h của tòa nhà.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,725

Câu 4:

Cho biểu thức $P = \frac{2}{x} - (\frac{x^{2}}{x^{2} + x y} + \frac{y^{2} - x^{2}}{x y} - \frac{y^{2}}{x y + y^{2}}) . \frac{x + y}{x^{2} + x y + y^{2}}$ với x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ −y.

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P biết x, y thỏa mãn đẳng thức x² + y² + 10 = 2(x – 3y).

Xem đáp án » 12/07/2024 5,653

Câu 5:

Tính tổng $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{99.100}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 5,585

Câu 6:

Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 4?

Xem đáp án » 12/07/2024 5,555

Câu 7:

Cho bản đồ tỷ lệ 1:25000, tính khoảng cách thực tế với 1cm; 2cm; 2,5cm.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,370

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh 11+a2+11+b2≥21+ab.

Bình luận

Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276. Tích của bốn số đó là?

Cách giải bài toán đường thằg song song với trục hoành.

Một tòa nhà có chiều cao h (m). Khi tia nắng tạo với mặt đất một góc 55 độ thì bóng của tòa nhà trên mặt đất dài 15 m. Tính chiều cao h của tòa nhà.

Cho biểu thức P=2x−x2x2+xy+y2−x2xy−y2xy+y2.x+yx2+xy+y2 với x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ −y. a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P biết x, y thỏa mãn đẳng thức x2 + y2 + 10 = 2(x – 3y).

Tính tổng 11.2+12.3+...+199.100.

Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 4?

Cho bản đồ tỷ lệ 1:25000, tính khoảng cách thực tế với 1cm; 2cm; 2,5cm.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b với ab ≥ 1. Chứng minh $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}} \geq \frac{2}{1 + a b}$ .

Tính tổng $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{99.100}$ .