Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G,N$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB,ABC$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

b) Chứng minh rằng $NG$ song song với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

a) Gọi $O$là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Khi đó: $\left\{ \begin{gathered}

O \in AC \hfill \\

AC \subset (SAC) \hfill \\

\end{gathered} \right. \Rightarrow O \in (SAC)$.

             $\left\{ \begin{gathered}

O \in BD \hfill \\

BD \subset (SBD) \hfill \\

\end{gathered} \right. \Rightarrow O \in (SBD)$.

$ \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap (SBD)\,\,(1)$

Mặt khác $S \in \left( {SAC} \right) \cap (SB{\text{D}})\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\left( {SAC} \right) \cap (SB{\text{D}}) = SO$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $\frac{{IG}}{{GS}} = \frac{1}{2}$.

Vì $N$ là trọng tâm tam giác $ABC$nên $\frac{{IN}}{{NC}} = \frac{1}{2}$.

Xét $\Delta SIC$ có $\frac{{IG}}{{GS}} = \frac{{IN}}{{NC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow GN{\text{//}}SC$ (Định lý đảo của định lí Thalès).

Khi đó ta có $\left\{ \begin{gathered}

GN{\text{//}}SC \hfill \\

SC \subset (SAC) \hfill \\

GN \not\subset (SAC) \hfill \\

\end{gathered} \right. \Rightarrow GN{\text{//}}(SAC)$.