Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ A đến (SBC). (ảnh 1)

Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Khi đó OB là hình chiếu của SB trên (ABCD)

⇒ $(S B, (A B C D)) = (S B, O B) = \hat{S B O} = 60 °$

Gọi M là trung điểm BC, dựng OH ⊥ SM

Ta có: OM ⊥ BC (vì OM là đường trung bình trong tam giác ABC nên OM // AB, mà AB ⊥ BC)

Ta có: SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC

Suy ra: BC ⊥ (SOM) ⇒ BC ⊥ OH

Mà OH ⊥ SM

Nên OH ⊥ (SBC) hay d(O, (SBC)) = OH

AO ∩ (SBC) = {C} nên $\frac{d (A, (S B C))}{d (O, (S B C))} = \frac{A C}{O C} = 2$

Hay d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) = 2OH (*)

ABCD là hình vuông cạnh a nên $B D = a \sqrt{2} \Rightarrow B O = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$O M = \frac{1}{2} A B = \frac{a}{2}$

Lại có: SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ OB nên tam giác SOB vuông tại O

Suy ra: SO = OB.tan60° = $\frac{a \sqrt{2}}{2} . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xét trong tam giác SOM vuông tại O, có OH là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng và Pytago trong tam giác vuông có: SO.OM = OH.SM

⇒ $O H = \frac{S O . O M}{\sqrt{S O^{2} + O M^{2}}} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{2} . \frac{a}{2}}{\sqrt{{(\frac{a \sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}}} = \frac{a \sqrt{42}}{14}$

Từ (*) suy ra: d(A, (SBC)) = 2OH = $\frac{a \sqrt{42}}{7}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc $\frac{7 π}{4}$ ?

A. $- \frac{π}{4}$

B. $\frac{π}{4}$

C. $\frac{3 π}{4}$

D. $\frac{13 π}{4}$

Lời giải

Chọn A

$\frac{7 π}{4} = - \frac{π}{4} + 2 π$

Nên góc có cùng điểm cuối với góc $\frac{7 π}{4}$ là $- \frac{π}{4}$ .

Câu 2

Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Bí thư và 8 học sinh nam trong đó có Lớp trưởng. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Bí thư và Lớp trưởng không ở cùng một nhóm.

Xem đáp án

Lời giải

Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Bí thư và 8 học sinh nam (ảnh 1)

Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Bí thư và 8 học sinh nam (ảnh 2)

Câu 3