Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( { - 2\,;\,\,3\,;\,\,1} \right)\) và \(B\left( {5\,;\,\,6\,;\,\,2} \right).\) Đường thẳng \[AB\] cắt mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) tại điểm \[M.\] Tính tỉ số \(\frac{{AM}}{{BM}}.\)

\(M \in \left( {Oxz} \right) \Rightarrow M\left( {x\,;\,\,0\,;\,\,z} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( {7\,;\,\,3\,;\,\,1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {59} \,;\,\,\overrightarrow {AM}  = \left( {x + 2\,;\,\, - 3\,;\,\,z - 1} \right)\) và \[A,\,\,B,\,\,M\] thẳng hàng

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = k \cdot \overrightarrow {AB} (k \in \mathbb{R}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 7k}\\{ - 3 = 3k}\\{z - 1 = k}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 9}\\{ - 1 = k \Rightarrow M\left( { - 9\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)}\\{z = 0}\end{array}} \right.} \right.\) \(\overrightarrow {BM}  = \left( { - 14\,;\,\, - 6\,;\,\, - 2} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AM}  = \left( { - 7\,;\,\, - 3\,;\,\, - 1} \right) \Rightarrow BM = 2AM.\) Chọn A.