Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(f\left( x \right) >  - 1\,,\,\,f\left( 0 \right) = 0\) và \(f'\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1}  = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1} .\) Tính \(f\left( {\sqrt 3 } \right).\)

Ta có: \(f'\left( x \right)\sqrt {{x^2} + 1}  = 2x\sqrt {f\left( x \right) + 1}  \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 1} }} = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\[ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 1} }}} \,dx = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \left. {dx \Leftrightarrow \sqrt {f\left( x \right) + 1} } \right|_0^{\sqrt 3 } = \left. {\left. {\sqrt {{x^2} + 1} } \right|_0^{\sqrt 3 } \Leftrightarrow \sqrt {f\left( x \right) + 1} } \right|_0^{\sqrt 3 } = 1\]

\( \Leftrightarrow \sqrt {f\left( {\sqrt 3 } \right) + 1}  - \sqrt {f\left( 0 \right) + 1}  = 1 \Leftrightarrow \sqrt {f\left( {\sqrt 3 } \right) + 1}  = 2 \Leftrightarrow f\left( {\sqrt 3 } \right) = 3.\)

Đáp án: 3.