Cho hai số x, y thỏa mãn \(2x + y > 0\) và \(\frac{{2{e^x}}}{{\sqrt {2x + y} }} + \ln (2x + y) = 2x + 2.\) Giá trị nhỏ nhất của \[y\] là

Đặt \(t = \ln \sqrt {2x + y}  \Leftrightarrow \sqrt {2x + y}  = {e^t} \Leftrightarrow 2x + y = {e^{2t}}\).

Khi đó, giả thiết trở thành: \(\frac{{2{e^x}}}{{{e^t}}} + \ln {e^{2t}} = 2x + 2 \Leftrightarrow 2{e^{x - t}} + 2t - 2x - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {e^{x - t}} - \left( {x - t} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( A \right) = {e^A} - A - 1 = 0\)

Khảo sát hàm số \(f\left( A \right) \Rightarrow f\left( A \right) \Leftrightarrow A = 0.\)

Do đó \(x - t = 1 \Leftrightarrow x - \ln \sqrt {2x + y}  = 1 \Leftrightarrow \ln \sqrt {2x + y}  = x - 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {2x + y}  = {e^{x - 1}} \Leftrightarrow 2x + y = {e^{2x - 2}} \Leftrightarrow y = {e^{2x - 2}} - 2x{\rm{. }}\)

Khảo sát hàm số \(g\left( x \right) = {e^{2x - 2}} - 2x\) suy ra \[\min y = \min g\left( x \right) =  - 1.\] Đáp án: −1.