Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R\) và điểm \(C\) thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt \(\widehat {CAB} = \alpha ^\circ \) và gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \[AB.\] Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \[ACH\] quanh trục \[AB\] đạt giá trị lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R\) và điểm \(C\) thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt \(\widehat {CAB} = \alpha ^\circ \) và gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \[AB.\] Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \[ACH\] quanh trục \[AB\] đạt giá trị lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Quảng cáo
Trả lời:

Khi quay tam giác \[ACH\] quanh trục \[AB,\] ta được khối nón đỉnh \(A\), có đáy là hình tròn tâm \(H\), bán kính \[HC.\]
Đặt \(AH = h\,;\,\,CH = r.\) Ta có \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \[ACB,\] ta có \(C{H^2} = HA \cdot HB\).
Mà \(HB = 2R - h\) suy ra \[{r^2} = h\left( {2R - h} \right) \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi h\left( {2R - h} \right)h\]
Để thể tích khối tròn xoay lớn nhất thì \[\left( {2R - h} \right){h^2}\] lớn nhất.
Xét hàm số \(f\left( h \right) = 2R.{h^2} - {h^3}\) trên \(\left( {0\,;\,\,2R} \right)\), có \(f'\left( h \right) = 4R.h - 3{h^2} = 0 \Rightarrow h = \frac{{4R}}{3}.\)
Suy ra \(\max f\left( h \right) = f\left( {\frac{{4R}}{3}} \right) \Rightarrow r = \sqrt {\frac{{4R}}{3} \cdot \left( {2R - \frac{{4R}}{3}} \right)} = \frac{{2\sqrt 2 R}}{3}\).
Vậy \(\tan \alpha = \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{r}{h} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = \arctan \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 35^\circ .\)
Đáp án: 35.
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Lao động nước ta có nhiều kinh nghiệm trong sản xuất nông nghiệp chứ không phải công nghiệp. Chọn B.
Câu 2
Lời giải
Câu thơ sử dụng biện pháp tu từ hoán dụ: dùng địa danh để chỉ người sống trên địa danh đó: Thôn Đoài - Thôn Đông → Cách biểu đạt tình cảm kín đáo, ý nhị. Chọn C.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. 0 gam.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.