Câu hỏi:
24/06/2024 51Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'.\) Góc giữa hai đường thẳng AM và \(BC'\) bằng
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Giả sử cạnh của hình lập phương là \(a > 0.\)
Gọi \(N\) là trung điểm đoạn thẳng \(BB'.\)
Khi đó, \(MN\,{\rm{//}}\,BC'\) nên \(\left( {\widehat {AM\,;\,\,BC'}} \right) = (\widehat {AM\,;\,MN}).\)
Xét \(\Delta A'B'M\) vuông tại \(B'\), ta có
\(A'M = \sqrt {A'{{B'}^{\prime 2}} + B'{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)Xét \(\Delta AA'M\) vuông tại \(A'\), ta có \(AM = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{5{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}.\)
Có \[AN = A'M = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\,;\,\,MN = \frac{{BC'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]
Trong tam giác \[AMN\] ta có
\(\cos \widehat {AMN} = \frac{{M{A^2} + M{N^2} - A{N^2}}}{{2MA \cdot MN}} = \frac{{\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{4} - \frac{{5{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot \frac{{3a}}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{6{a^2}}}{4} \cdot \frac{4}{{6{a^2}\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Suy ra \(\widehat {AMN} = 45^\circ .\) Vậy \[\left( {AM,\,\,BC'} \right) = \left( {AM,\,\,MN} \right) = \widehat {AMN} = 45^\circ .\] Chọn A.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(2z - i \cdot \bar z = 3i.\) Môđun của \(z\) bằng
Câu 2:
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \(2a,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right).\) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(30^\circ .\) Thể tích khối chóp \[S.ABC\] là
Câu 3:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2\,;\,\,3} \right]\) để hàm số \(y = {x^3} - \frac{3}{2}\left( {2m - 3} \right){x^2} + m + 2\) có hai điểm cực trị và hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 2?
Câu 4:
Trong không gian \[Oxyz,\] phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 5} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P):2x + 3y - 4z + 5 = 0\) là
Câu 5:
Với \(a\) là số thực dương tuỳ ý, đặt \({\log _2}a = m.\) Khi đó \(\log _2^2\left( {8{a^2}} \right)\) bằng
Câu 6:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 5}}{2} = \frac{{y - 7}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và điểm \(I\left( {4\,;\,\,1\,;\,\,6} \right).\) Đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) tại hai điểm \[A,\,\,B\] sao cho \(AB = 6.\) Phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) là
về câu hỏi!