Câu hỏi:

13/07/2024 186

Trao đổi, thảo luận để giải bài toán sau:

Cho trước dãy số A. Thiết kế thuật toán sắp xếp lại dãy A theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Để sắp xếp dãy số A theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần, chúng ta có thể sử dụng nhiều thuật toán sắp xếp khác nhau. Một trong những phương pháp hiệu quả và dễ hiểu là sử dụng cây tìm kiếm nhị phân (BST) để sắp xếp dãy số.

Ý tưởng thuật toán

1. Chèn các phần tử của dãy A vào cây tìm kiếm nhị phân (BST).

2. Duyệt cây theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần để lấy ra các phần tử đã được sắp xếp.

Thuật toán chi tiết:

1. Chèn các phần tử vào BST

Mỗi phần tử trong dãy A sẽ được chèn vào BST theo quy tắc:

- Nếu phần tử nhỏ hơn nút hiện tại, chuyển sang cây con trái.

- Nếu phần tử lớn hơn hoặc bằng nút hiện tại, chuyển sang cây con phải.

2. Duyệt cây để lấy ra dãy đã sắp xếp

- Duyệt giữa (In-order Traversal): để lấy các phần tử theo thứ tự tăng dần.

- Duyệt ngược (Reverse in-order Traversal): để lấy các phần tử theo thứ tự giảm dần.

Nhận xét:

- Hiệu quả: Thuật toán sử dụng BST có thời gian chèn và tìm kiếm trung bình là O(log⁡n)O(\log n)O(logn) khi cây cân bằng, và O(n)O(n)O(n) trong trường hợp xấu nhất khi cây trở thành đường thẳng (skewed tree).

- Tính chất: BST duy trì các phần tử theo thứ tự, do đó việc duyệt cây sẽ cho ra dãy số đã được sắp xếp.

- Ứng dụng: Thuật toán này không phù hợp cho các trường hợp cần sắp xếp nhanh và hiệu quả như QuickSort hoặc MergeSort (có độ phức tạp O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)), nhưng nó giúp minh họa tốt về cách sử dụng cấu trúc cây trong việc sắp xếp dữ liệu.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Thuật toán sắp xếp dãy sử dụng cây tìm kiếm nhị phân (BST) có độ phức tạp thời gian phụ thuộc vào cấu trúc của cây BST trong quá trình chèn và duyệt các phần tử.

Độ phức tạp thời gian của thuật toán sắp xếp bằng BST

1. Chèn phần tử vào BST:

- Trung bình: Đối với cây BST cân bằng, độ sâu trung bình của cây là O(log⁡n)O(\log n)O(logn), do đó, việc chèn mỗi phần tử có độ phức tạp trung bình là O(log⁡n)O(\log n)O(logn).

- Trường hợp xấu nhất: Trong trường hợp xấu nhất, nếu cây BST trở thành một cây một nhánh (giống như danh sách liên kết) khi các phần tử được chèn theo thứ tự tăng hoặc giảm dần, độ sâu của cây sẽ là O(n)O(n)O(n). Vì vậy, việc chèn mỗi phần tử có độ phức tạp là O(n)O(n)O(n).

2. Duyệt cây để lấy các phần tử đã sắp xếp:

- Việc duyệt cây (in-order hoặc reverse in-order) có độ phức tạp là O(n)O(n)O(n) vì chúng ta phải thăm tất cả các nút trong cây một lần.

Tổng độ phức tạp thời gian

- Trung bình: Trong trường hợp trung bình khi cây BST gần như cân bằng, độ phức tạp cho việc chèn n phần tử là O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn), và duyệt cây là O(n)O(n)O(n). Do đó, tổng độ phức tạp thời gian là O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn).

- Trường hợp xấu nhất: Trong trường hợp xấu nhất khi cây BST trở thành một cây một nhánh, độ phức tạp cho việc chèn n phần tử là O(n2)O(n^2)O(n2), và duyệt cây là O(n)O(n)O(n). Do đó, tổng độ phức tạp thời gian là O(n2)O(n^2)O(n2).

Kết luận

- Trung bình: O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)

- Trường hợp xấu nhất: O(n2)O(n^2)O(n2)

Để tránh trường hợp xấu nhất, các thuật toán như AVL tree hoặc Red-Black tree có thể được sử dụng để đảm bảo rằng cây BST luôn gần như cân bằng, giữ độ phức tạp thời gian ở mức O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn) trong mọi trường hợp.

Lời giải

Để tính chiều cao của cây tìm kiếm nhị phân (BST), chúng ta có thể sử dụng phương pháp đệ quy. Chiều cao của một cây BST là độ dài của đường dẫn từ nút gốc đến nút lá xa nhất. Dưới đây là cài đặt Python cho hàm height(T) để tính chiều cao của cây tìm kiếm nhị phân T.

class TreeNode:

    def __init__(self, key):

        self.left = None

        self.right = None

        self.val = key

def height(T):

    if T is None:

        return -1  # Chiều cao của một cây rỗng là -1

    else:

        # Tính chiều cao của cây con bên trái và cây con bên phải

        left_height = height(T.left)

        right_height = height(T.right)

        # Chiều cao của cây là chiều cao lớn nhất của hai cây con cộng thêm 1

        return max(left_height, right_height) + 1

Giải thích:

- Hàm height(T) sẽ tính chiều cao của cây tìm kiếm nhị phân T bằng cách sử dụng đệ quy.

- Nếu cây T là cây rỗng (None), chiều cao của cây là -1.

- Nếu cây T không rỗng, chúng ta tính chiều cao của cây con bên trái và cây con bên phải.

- Chiều cao của cây là chiều cao lớn nhất của hai cây con cộng thêm 1 (chiều cao của nút gốc).

 

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP