Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m \in \left( { - 10\,;\,\,10} \right)\] để hàm số \({{\rm{y}}^2}\; = {{\rm{m}}^2}{{\rm{x}}^4} - 2\left( {4\;{\rm{m}} - 1} \right){{\rm{x}}^2} + 1\) đồng biến trên khoảng \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\]?

Khi \({\rm{m}} = 0\) thì \({\rm{y}} = 2{{\rm{x}}^2} + 1\) đồng biến trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) nên đồng biến trên \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right).\]

Như vậy \({\rm{m}} = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xét khi \(m \ne 0\) (lúc đó hệ số \({m^2} > 0\)): \(y' = 4{m^2}{x^3} - 4\left( {4m - 1} \right)x\,;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = \frac{{4m - 1}}{{{m^2}}}}\end{array}} \right.\)

• Nếu \(\;\frac{{4m - 1}}{{{m^2}}} > 0\), tức là \(m > \frac{1}{4}\) thì \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 0}\\{{x_2} = \frac{{\sqrt {4m - 1} }}{m}}\\{{x_3} =  - \frac{{\sqrt {4m - 1} }}{m}}\end{array}} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\] thì \(\frac{{\sqrt {4\;{\rm{m}} - 1} }}{{\;{\rm{m}}}} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{m}} > \frac{1}{4}}\\{\sqrt {4\;{\rm{m}} - 1}  \le {\rm{m}}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \frac{1}{4}}\\{4m - 1 \le {m^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \frac{1}{4}}\\{{m^2} - 4m + 1 \ge 0}\end{array}\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{1}{4}\\\left[ \begin{array}{l}m \le 2 - \sqrt 3 \\m \ge 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{4} < m \le 2 - \sqrt 3 }\\{m \ge 2 + \sqrt 3 }\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

• Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \frac{1}{4}}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.\) thì \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) nên đồng biến trên \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right).\]

Như vậy, hàm số đồng biến trên \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\] khi \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{m}} \le 2 - \sqrt 3 }\\{\;{\rm{m}} \ge 2 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\).

Từ đó suy ra có 16 giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 10\,;\,\,10} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.