Câu hỏi:

28/06/2024 157

Cho hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \[\left[ {0\,;\,\,1} \right],\] thỏa mãn \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 4\left[ {2{x^2} + 1 - f\left( x \right)} \right]\) với mọi \(x\) thuộc đoạn \[\left[ {0\,;\,\,1} \right]\] và \(f(1) = 2\). Giá trị \[I = \int\limits_0^1 {x \cdot f\left( x \right)dx} \] bằng

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có: \({\left[ {f'({\rm{x}})} \right]^2} = 4.\left[ {2{{\rm{x}}^2} + 1 - {\rm{f}}({\rm{x}})} \right]\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {f'(x)} \right]^2} - 4x \cdot f'(x) + 4{x^2} = 12{x^2} + 4 - 4\left[ {x \cdot f'(x) + f(x)} \right]\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {f'(x) - 2x} \right]^2} = 12{x^2} + 4 - 4{\left[ {x \cdot f(x)} \right]^\prime }\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - 2x} \right]}^2}dx = \int\limits_0^1 {\left( {12{x^2} + 4} \right)dx - 4\int\limits_0^1 {{{\left[ {x \cdot f\left( x \right)} \right]}^\prime }dx} } } \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - 2x} \right]}^2}dx = 8 - 4\left( {x \cdot f\left( x \right)} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right.} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'(x) - 2x} \right]}^2}dx}  = 8 - 4 \cdot f(1) \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'(x) - 2x} \right]}^2}dx}  = 0 \Rightarrow f'(x) = 2x\) .

Từ đó \(f(x) = \int {f'} (x)dx = \int 2 xdx = {x^2} + C\) mà \(f(1) = 2 \Rightarrow C = 1\) nên \(f(x) = {x^2} + 1\).

Vậy \(I = \int\limits_0^1 {x \cdot f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {x\left( {{x^2} + 1} \right)dx}  = \frac{3}{4}.\) Chọn A.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Các chất tham gia phản ứng tráng gương là có nhóm –CHO, lưu ý fructose có nhóm ketone nhưng trong môi trường \[N{H_3}\] fructose bị chuyển thành glucose nên fructose cũng tham gia phản ứng tráng gương.

→ Các chất tham gia phản ứng tráng gương: glucose, aldehyde acetic, fructose.

Lưu ý: acetylene tham gia phản ứng với \[AgN{O_3}\]nhưng không phải phản ứng tráng gương.

Chọn C.

Câu 2

Lời giải

Ta có \({\rm{v}}\left( {\rm{t}} \right) = {\rm{s'}}\left( {\rm{t}} \right) = {{\rm{t}}^2} - 2{\rm{t}} + 9\).

• \({\rm{v'}} = 2{\rm{t}} - 2 \Rightarrow {\rm{v'}} = 0 \Leftrightarrow {\rm{t}} = 1\).

• \[{\rm{v}}\left( 1 \right) = 8\,;\,\,{\rm{v}}\left( {10} \right) = 89\,;\,\,{\rm{v}}\left( 0 \right) = 9\].

Vậy vận tốc lớn nhất là \(89\,\,{\rm{m}}/{\rm{s}}\). Chọn A.

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP