Câu hỏi:
28/06/2024 130Cho hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \[\left[ {0\,;\,\,1} \right],\] thỏa mãn \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 4\left[ {2{x^2} + 1 - f\left( x \right)} \right]\) với mọi \(x\) thuộc đoạn \[\left[ {0\,;\,\,1} \right]\] và \(f(1) = 2\). Giá trị \[I = \int\limits_0^1 {x \cdot f\left( x \right)dx} \] bằng
Đáp án chính xác
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \({\left[ {f'({\rm{x}})} \right]^2} = 4.\left[ {2{{\rm{x}}^2} + 1 - {\rm{f}}({\rm{x}})} \right]\)
\( \Leftrightarrow {\left[ {f'(x)} \right]^2} - 4x \cdot f'(x) + 4{x^2} = 12{x^2} + 4 - 4\left[ {x \cdot f'(x) + f(x)} \right]\)
\( \Leftrightarrow {\left[ {f'(x) - 2x} \right]^2} = 12{x^2} + 4 - 4{\left[ {x \cdot f(x)} \right]^\prime }\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - 2x} \right]}^2}dx = \int\limits_0^1 {\left( {12{x^2} + 4} \right)dx - 4\int\limits_0^1 {{{\left[ {x \cdot f\left( x \right)} \right]}^\prime }dx} } } \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - 2x} \right]}^2}dx = 8 - 4\left( {x \cdot f\left( x \right)} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right.} \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'(x) - 2x} \right]}^2}dx} = 8 - 4 \cdot f(1) \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'(x) - 2x} \right]}^2}dx} = 0 \Rightarrow f'(x) = 2x\) .
Từ đó \(f(x) = \int {f'} (x)dx = \int 2 xdx = {x^2} + C\) mà \(f(1) = 2 \Rightarrow C = 1\) nên \(f(x) = {x^2} + 1\).
Vậy \(I = \int\limits_0^1 {x \cdot f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {x\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{3}{4}.\) Chọn A.
Nhà sách vietjack
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho các dung dịch sau: saccharose, glucose, aldehyde acetic, glycerol, ethyl alcohol, acetylene, fructose. Số dung dịch có thể tham gia phản ứng tráng gương là:
Xem đáp án »
25/07/2024
4,007
Câu 2:
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f(t) = 4{t^3} - \frac{{{t^4}}}{2}\) (người). Nếu xem \(f'(t)\) là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm \(t\) với \(t \in \left[ {0\,;\,\,6} \right]\). Hỏi vào ngày thứ mấy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ lớn nhất?
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f(t) = 4{t^3} - \frac{{{t^4}}}{2}\) (người). Nếu xem \(f'(t)\) là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm \(t\) với \(t \in \left[ {0\,;\,\,6} \right]\). Hỏi vào ngày thứ mấy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ lớn nhất?
Xem đáp án »
12/07/2024
1,831
Câu 3:
Trong việc triển khai chiến lược "Chiến tranh cục bộ", lực lượng nào sau đây được Mĩ xác định là nòng cốt trong các cuộc hành quân "tìm diệt" Quân Giải phóng miền Nam Việt Nam?
Xem đáp án »
25/07/2024
1,410
Câu 5:
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\), biết \(F\left( 0 \right) = 1\). Tính \(F\left( { - 2} \right)\).
Xem đáp án »
28/06/2024
1,188
Câu 7:
PHẦN 2: TƯ DUY ĐỊNH TÍNH
Lĩnh vực: Ngữ văn (50 câu – 60 phút)
Xác định thể thơ của đoạn thơ trên.
PHẦN 2: TƯ DUY ĐỊNH TÍNH
Lĩnh vực: Ngữ văn (50 câu – 60 phút)
Xác định thể thơ của đoạn thơ trên.
Xem đáp án »
25/07/2024
899
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận