Cho tứ diện đều \({\rm{ABCD}}\) cạnh \[a.\] Mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) chứa cạnh \(BC\) cắt cạnh \(AD\) tại \({\rm{E}}{\rm{.}}\) Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) và \(\left( {{\rm{BCD}}} \right)\) có số đo là \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha  = \frac{{5\sqrt 2 }}{7}.\) Gọi thể tích của hai tứ diện \({\rm{ABCE}}\) và tứ diện \({\rm{BCDE}}\) lần lượt là \({{\rm{V}}_1}\) và \({{\rm{V}}_2}\). Tính tỉ số \(\frac{{{{\rm{V}}_1}}}{{\;{{\rm{V}}_2}}}\).

\( \Rightarrow {\rm{EI}} = \frac{{{\rm{ DE}} \cdot {\rm{AH }}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{x \cdot \frac{{{\rm{a}}\sqrt 6 }}{3}}}{a} = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\);

\({\rm{DI}} = \frac{{{\rm{DE}} \cdot {\rm{DH}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{{\rm{x}} \cdot \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{3}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{x}}\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow {\rm{MI}} = {\rm{DM}} - {\rm{DI}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2} - \frac{{{\rm{x}}\sqrt 3 }}{3}.\)

Khi đó \(\tan \alpha  = \frac{{EI}}{{MI}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{7} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{x\sqrt 6 }}{3}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2} - \frac{{x\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{7} \Leftrightarrow x = \frac{5}{8}a\).

Do đó \(\frac{{{V_{{\rm{DBCE}}}}}}{{{{\rm{V}}_{{\rm{ABCD}}}}}} = \frac{{{\rm{DE}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{{{{\rm{V}}_{{\rm{ABCE}}}}}}{{{{\rm{V}}_{{\rm{BCDE}}}}}} = \frac{3}{5}\). Chọn A.