Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz,\] gọi \({\rm{A'}}\) là điểm đối xứng của điểm \({\rm{A}}\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\) qua đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y =  - 2 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right..\) Tính khoảng cách từ điểm \({\rm{A'}}\) đến mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Gọi \({\rm{H}}\) là hình chiếu của \({\rm{A}}\) trên \[{\rm{d}} \Rightarrow {\rm{H}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{H}}\left( {6 - 4{\rm{t}}\,;\,\, - 2 - {\rm{t}}\,;\,\, - 1 + 2{\rm{t}}} \right)\].

Ta có \(\overrightarrow {{\rm{AH}}}  = \left( {5 - 4t\,;\,\, - 3 - t\,;\,\, - 2 + 2t} \right)\), \[d\] có VTCP \(\overrightarrow {\rm{u}}  = \left( { - \,4\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right)\).

Vì \({\rm{AH}} \bot {\rm{d}} \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{AH}}}  \cdot \overrightarrow {\rm{u}}  = 0 \Leftrightarrow 24{\rm{t}} - 24 = 0 \Leftrightarrow {\rm{t}} = 1 \Rightarrow {\rm{H}}\left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của điểm \({\rm{A}}\) qua đường thẳng \({\rm{d}}\) nên \(A'\left( {3\,;\,\, - 7\,;\,\,1} \right)\).

Khoảng cách từ điểm \(A'\) đến mặt phẳng \(({\rm{Oyz}})\) là \({\rm{d}}\left( {A'\,;\,\,({\rm{Oyz}})} \right) = 3\).

Đáp án: 3.