Cho hình chóp \[S.ABC\] có \(SC \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại \(B\). Biết \({\rm{AB}} = {\rm{a}},\,\,{\rm{AC}} = {\rm{a}}\sqrt 3 \) và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{\rm{SAB}}} \right)\) và \(\left( {{\rm{SAC}}} \right)\) bằng \(\alpha \) với \[\cos \alpha  = \sqrt {\frac{6}{{19}}} .\] Tính độ dài \({\rm{SC}}\) theo \[a.\]

Khi đó \(\cos \alpha  = \sqrt {\frac{6}{{19}}} \,;\,\,\alpha  \in \left[ {0\,;\,\,90^\circ } \right] \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {\frac{{13}}{{19}}} \).

Do đó \(\sin \alpha  = \frac{{{\rm{BH}}}}{{{\rm{BK}}}} \Rightarrow {\rm{BK}} = \frac{{{\rm{BH}}}}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt {\frac{{13}}{{19}}} }} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt {38} }}{{\sqrt {39} }}\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SC}\\{AB \bot BC}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB \bot SB} \right.\).

Khi đó tam giác \[SAB\] vuông tại \[B.\] Do đó \(\frac{1}{{{\rm{B}}{{\rm{K}}^2}}} = \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{B}}^2}}} + \frac{1}{{{\rm{S}}{{\rm{B}}^2}}} \Rightarrow {\rm{S}}{{\rm{B}}^2} = 38{{\rm{a}}^2} \Rightarrow {\rm{SB}} = \sqrt {38} {\rm{a}}\).

Tam giác \({\rm{SBC}}\) vuông tại \({\rm{C}}\). Khi đó \({\rm{SC}} = \sqrt {{\rm{S}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{B}}{{\rm{C}}^2}}  = 6a\). Đáp án: \[{\bf{6a}}\].