Câu hỏi:
28/06/2024 17Cho hình chóp \[S.ABC\] có \(SC \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại \(B\). Biết \({\rm{AB}} = {\rm{a}},\,\,{\rm{AC}} = {\rm{a}}\sqrt 3 \) và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{\rm{SAB}}} \right)\) và \(\left( {{\rm{SAC}}} \right)\) bằng \(\alpha \) với \[\cos \alpha = \sqrt {\frac{6}{{19}}} .\] Tính độ dài \({\rm{SC}}\) theo \[a.\]
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Kẻ \[{\rm{BH}} \bot {\rm{AC}}\,\,\left( {{\rm{H}} \in {\rm{AC}}} \right);\,\,\,{\rm{HK}} \bot {\rm{SA}}\,\,\left( {{\rm{K}} \in {\rm{SA}}} \right)\].
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{SA}} = ({\rm{SAC}}) \cap ({\rm{SAB}})}\\{{\rm{HK}} \bot {\rm{SA}},{\rm{HK}} \subset ({\rm{SAC}})}\\{{\rm{BK}} \bot {\rm{SA}},{\rm{BK}} \subset ({\rm{SAB}})}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow (({\rm{SAC}}),({\rm{SAB}})) = ({\rm{HK}},{\rm{BK}}) = \widehat {{\rm{HKB}}} = \alpha \)
Ta có: \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \).
\({\rm{BH}} = \frac{{{\rm{BA}}{\rm{.BC}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 {\rm{.a}}}}{{{\rm{a}}\sqrt 3 }} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).Khi đó \(\cos \alpha = \sqrt {\frac{6}{{19}}} \,;\,\,\alpha \in \left[ {0\,;\,\,90^\circ } \right] \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {\frac{{13}}{{19}}} \).
Do đó \(\sin \alpha = \frac{{{\rm{BH}}}}{{{\rm{BK}}}} \Rightarrow {\rm{BK}} = \frac{{{\rm{BH}}}}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt {\frac{{13}}{{19}}} }} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt {38} }}{{\sqrt {39} }}\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SC}\\{AB \bot BC}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB \bot SB} \right.\).
Khi đó tam giác \[SAB\] vuông tại \[B.\] Do đó \(\frac{1}{{{\rm{B}}{{\rm{K}}^2}}} = \frac{1}{{{\rm{A}}{{\rm{B}}^2}}} + \frac{1}{{{\rm{S}}{{\rm{B}}^2}}} \Rightarrow {\rm{S}}{{\rm{B}}^2} = 38{{\rm{a}}^2} \Rightarrow {\rm{SB}} = \sqrt {38} {\rm{a}}\).
Tam giác \({\rm{SBC}}\) vuông tại \({\rm{C}}\). Khi đó \({\rm{SC}} = \sqrt {{\rm{S}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{B}}{{\rm{C}}^2}} = 6a\). Đáp án: \[{\bf{6a}}\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f(t) = 4{t^3} - \frac{{{t^4}}}{2}\) (người). Nếu xem \(f'(t)\) là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm \(t\) với \(t \in \left[ {0\,;\,\,6} \right]\). Hỏi vào ngày thứ mấy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ lớn nhất?
Câu 2:
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 3:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 5\,;\,\,5} \right]\) để phương trình \(\left| {mx + 2x - 1} \right| = \left| {x - 1} \right|\) có đúng hai nghiệm phân biệt?
Câu 4:
Tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành độ x0 = 3 có hệ số góc bằng bao nhiêu? \(y = \frac{{x + 8}}{{x - 2}}\)
Câu 5:
Trong không gian tọa độ \({\rm{Oxyz,}}\) cho hai điểm \({\rm{A}}\left( {2\,;\,\,2\,;\,\,1} \right),\,\,{\rm{B}}\left( { - \frac{8}{3}\,;\,\,\frac{4}{3}\,;\,\,\frac{8}{3}} \right)\). Biết \({\rm{I}}\left( {{\rm{a}}\,;\,\,{\rm{b}}\,;\,\,{\rm{c}}} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác \({\rm{OAB}}\). Tính \({\rm{S}} = {\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}\).
Câu 6:
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD,\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng \[a.\] Gọi \(M\) là trung điểm của \[SC.\] Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Câu 7:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m \in \left( { - 10\,;\,\,10} \right)\] để hàm số \({{\rm{y}}^2}\; = {{\rm{m}}^2}{{\rm{x}}^4} - 2\left( {4\;{\rm{m}} - 1} \right){{\rm{x}}^2} + 1\) đồng biến trên khoảng \[\left( {1\,;\,\, + \infty } \right)\]?
về câu hỏi!