An và Hòa cùng tham gia một hoạt động về bài toán trên dãy số. Giả sử các phần từ 45, 35, 60, 30, 46, 75, 11, 55, 65, 96, 12, 58 của tập số An giữ được biểu diễn dưới dạng cây nhị phân trong Hình 2, các nút được đánh chỉ số từ 0 đến 11. Em hãy quan sát đặc điểm của cây và các giá trị khóa từng nút của cây này, tử đó đưa ra một cách giúp Hoa đạt ít câu hỏi nhất cô thế để tim ra vị trí nút có giá trị khoá 55.

Đáp án đúng là c) Cây tìm kiếm nhị phân giúp quá trình tìm kiếm phần tử trong dãy có giá trị cho trước nhanh hơn.

Các câu còn lại sai vì:

a) Sai vì trong cây tìm kiếm nhị phân, giá trị khóa của mọi nút trong cây con trái phải nhỏ hơn giá trị khóa của nút gốc, và giá trị khóa của mọi nút trong cây con phải phải lớn hơn giá trị khóa của nút gốc.

b) Sai vì từ một dãy số nguyên cho trước có thể tạo ra nhiều cây tìm kiếm nhị phân khác nhau tùy thuộc vào thứ tự chèn các số vào cây.

d) Sai vì quá trình tìm kiếm trên cây tìm kiếm nhị phân không luôn luôn cho kết quả tìm được nút có giá trị bằng giá trị khóa cho trước, nó chỉ trả về kết quả nếu giá trị đó thực sự tồn tại trong cây.

Trong cây tìm kiếm nhị phân em vừa xây dựng ở phần vận dụng, để xác định số bước so sánh cần thiết để tìm ra một nút có giá trị khóa cụ thể trong cây tìm kiếm nhị phân, ta cần biết cấu trúc cụ thể của cây và vị trí của giá trị khóa đó trong cây. Ở bài toán tổng quát, số bước so sánh sẽ phụ thuộc vào chiều cao của cây.

Giả sử em có một cây tìm kiếm nhị phân (BST) và muốn tìm một giá trị khóa cụ thể k , quá trình tìm kiếm hoạt động như sau:

Bước 1. So sánh k với giá trị khóa của nút gốc.

Bước 2. Nếu k bằng giá trị khóa của nút gốc, ta đã tìm thấy giá trị và dừng lại.

Bước 3. Nếu k nhỏ hơn giá trị khóa của nút gốc, ta tiếp tục tìm kiếm trong cây con trái.

Bước 4. Nếu k lớn hơn giá trị khóa của nút gốc, ta tiếp tục tìm kiếm trong cây con phải.

Bước 5. Lặp lại các bước trên cho đến khi tìm thấy giá trị khóa k hoặc đi đến một nút lá (nút không có con), mà không tìm thấy k trong cây.

Số bước so sánh chính là số lần so sánh cần thiết để đi từ gốc cây đến nút chứa giá trị khóa k. Số bước này bằng độ sâu của nút chứa giá trị khóa k trong cây.

Trong trường hợp cây là một cây tìm kiếm nhị phân cân bằng, chiều cao của cây là (O(log n)), với n là số lượng nút trong cây. Do đó, số bước so sánh trung bình để tìm kiếm một giá trị khóa trong cây sẽ là (O(log n)).

Nếu cây không cân bằng, trong trường hợp xấu nhất (cây bị thoái hóa thành danh sách liên kết), số bước so sánh có thể lên tới (O(n)).

Ví dụ:

Giả sử có một cây tìm kiếm nhị phân với các giá trị khóa được chèn lần lượt như sau: 9, 5, 19, 3, 7, 15, 24.

Cây sẽ được xây dựng như sau:

Nếu em muốn tìm giá trị khóa 7 trong cây này, các bước so sánh sẽ là:

1. So sánh 7 với 9 (gốc): 7 < 9, đi đến cây con trái.

2. So sánh 7 với 5: 7 > 5, đi đến cây con phải.

3. So sánh 7 với 7: Đúng, đã tìm thấy giá trị khóa.

Vậy cần 3 bước so sánh để tìm giá trị khóa 7 trong cây này.