Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right):\left( {1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}} \right),\) trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x²y² – 1 ≠ 0.

a) Tính mỗi tổng \(A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}\) và \(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức \(P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}.\)

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải vở thực hành Toán 8 KNTT Bài tập ôn cuối năm !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có: \(A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{\left( {1 - xy} \right)\left( {1 + xy} \right)}}\)

\( = \frac{{x + {x^2}y + x{y^2} + y + x - {x^2}y + x{y^2} - y}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{2x + 2x{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

\(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{1 - {x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{{x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} + 1}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right) + {y^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

b) Từ hai kết quả trên, ta có:

\(P = A:B = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}:\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{2x\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\frac{{1 - {x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}.\) (*)

Trong biểu thức (*), ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta thấy:

\(1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - \left( {1 - 2x + {x^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}.\)

So sánh kết quả này với (*), ta suy ra \(P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}.\)

d) Cách 1. Từ kết quả câu c, ta có: P = 1 khi \(\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = 0.\) Điều này xảy ra khi hai biến x và y xác định, tức là nếu x = 1 và x²y² – 1 ≠ 0. Vậy các giá trị của x và y để P = 1 là x = 1 và y² ≠ 1 hay \(y \ne \pm 1.\)

Cách 2. Từ (*) ta có (với điều kiện x²y² – 1 ≠ 0): \(P = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} = 1,\) hay 2x = 1 + x², tức là (x – 1)² = 0, hay x = 1.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I.

a) Chứng minh ∆BIC ᔕ ∆EIF.

b) Chứng minh FB2 = FI.FC.

c) Cho biết AB = 6 cm, BC = 3 cm. Tính EF.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I. a) Chứng minh ∆BIC ᔕ ∆EIF. b) Chứng minh FB2 = FI.FC. c) Cho biết AB = 6 cm, BC = 3 cm. Tính EF. (ảnh 1)

a) Do BE là đường phân giác của góc B nên \({\widehat B_1} = {\widehat B_2},\) ta có: \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) (1).

Tương tự với đường phân giác CF, ta có: \(\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{CA}}{{CB}}.\) (2)

Bởi vậy, từ (1) và (2) ta suy ra \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{FA}}{{FB}},\) nghĩa là EF định ra trên hai cạnh AB và AC những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Do đó theo định lí Thàles đảo ta có EF // BC. Từ đó suy ra ∆BIC ᔕ ∆EIF (ĐPCM).

b) Hai tam giác BFI và CFB có \(\widehat F\) chung, \({\widehat B_1} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \widehat C{ & _2}.\) Do đó ∆BFI ᔕ ∆CFB suy ra \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{FI}}{{FB}}\) hay FB² = FI.FC (ĐPCM).

c) Ta có EF // BC (chứng minh trên).

Do đó \(\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{\left( {AF + FB} \right)}}{{AF}} = 1 + \frac{{BC}}{{AC}} = 1 + \frac{3}{6} = \frac{3}{2}.\)

Từ đó suy ra \(EF = 3:\frac{3}{2} = 2\) (cm).

Vậy EF = 2 cm.

Câu 2

Bảng giá cước của một hãng taxi như sau:

Giá mở cửa

(từ 0 đến 1 km)

Giá cước các kilômét tiếp theo

(từ trên 1 km đến 30 km)

Giá cước từ kilômét thứ 31

10 000 đồng

13 600 đồng

11 000 đồng

a) Tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 35 km.

b) Lập công thức tính số tiền taxi y (đồng) phải trả khi di chuyển x kilômét, với 1 < x ≤ 30. Từ đó tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 30 km.

c) Nếu một người phải trả số tiền taxi là 268 400 đồng, hãy tính quãng đường người đó đã di chuyển bằng taxi.

Xem đáp án

Lời giải

a) Số tiền phải trả khi di chuyển 1 km đầu là 10 000 đồng.

Số tiền phải trả khi di chuyển 30 km tiếp theo là 30.13600 = 408 000 (đồng).

Số tiền phải trả khi di chuyển 4 km cuối là 4.11 000 = 44 000 (đồng).

Vậy số tiền phải trả cho 35 km là:

10 000 + 408 000 + 44 000 = 462 000 (đồng).

b) Vì 1 < x ≤ 30 nên số tiền trả cho quãng đường x kilomet gồm 2 phần: Phần thứ nhất là giá mở cửa 10 000 đồng, phần thứ hai là trả cho quãng đường x – 1 km tiếp theo. Công thức tính cần tìm là 10 000 + 13 600(x – 1), hay 13 600x – 3 600, với 1 < x ≤ 30. (*)

Áp dụng (*): Nếu người đó di chuyển 30 km thì số tiền phải trả là

13 600.30 – 3 600 = 404 400 (đồng).

c) Do số tiền đã trả cho taxi là 268 400, ít hơn 404 400 đồng, nên quãng đường đã di chuyển không quá 30 km. Vậy để tính quãng đường này, ta có thể dùng công thức (*).

13 600x – 3 600 = 268 400, hay 13 600x = 268 400 + 3 600 = 272 200, tức là \(x = \frac{{272000}}{{13600}} = 20\) (km).

Câu 3