Câu hỏi:

22/07/2024 100

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right):\left( {1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}} \right),\) trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x2y2 – 1 ≠ 0.

a) Tính mỗi tổng \(A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}\) và \(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức \(P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}.\)

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Ta có: \(A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{\left( {1 - xy} \right)\left( {1 + xy} \right)}}\)

\( = \frac{{x + {x^2}y + x{y^2} + y + x - {x^2}y + x{y^2} - y}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{2x + 2x{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

\(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{1 - {x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{{x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} + 1}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right) + {y^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

b) Từ hai kết quả trên, ta có:

\(P = A:B = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}:\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{2x\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\frac{{1 - {x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}.\) (*)

Trong biểu thức (*), ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta thấy:

\(1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - \left( {1 - 2x + {x^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}.\)

So sánh kết quả này với (*), ta suy ra \(P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}.\)

d) Cách 1. Từ kết quả câu c, ta có: P = 1 khi \(\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = 0.\) Điều này xảy ra khi hai biến x và y xác định, tức là nếu x = 1 và x2y2 – 1 ≠ 0. Vậy các giá trị của x và y để P = 1 là x = 1 và y2 ≠ 1 hay \(y \ne \pm 1.\)

Cách 2. Từ (*) ta có (với điều kiện x2y2 – 1 ≠ 0): \(P = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} = 1,\) hay 2x = 1 + x2, tức là (x – 1)2 = 0, hay x = 1.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I.

a) Chứng minh ∆BIC ᔕ ∆EIF.

b) Chứng minh FB2 = FI.FC.

c) Cho biết AB = 6 cm, BC = 3 cm. Tính EF.

Xem đáp án » 22/07/2024 1,714

Câu 2:

Bảng giá cước của một hãng taxi như sau:

Giá mở cửa

(từ 0 đến 1 km)

Giá cước các kilômét tiếp theo

(từ trên 1 km đến 30 km)

Giá cước từ kilômét thứ 31

10 000 đồng

13 600 đồng

11 000 đồng

a) Tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 35 km.

b) Lập công thức tính số tiền taxi y (đồng) phải trả khi di chuyển x kilômét, với 1 < x  ≤ 30. Từ đó tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 30 km.

c) Nếu một người phải trả số tiền taxi là 268 400 đồng, hãy tính quãng đường người đó đã di chuyển bằng taxi.

Xem đáp án » 22/07/2024 1,643

Câu 3:

Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông, có các đường cao BE, CF cắt nhau tại điểm H.

a) Giả sử ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng ∆ABE ᔕ ∆ACF; từ đó suy ra ∆AEF ᔕ ∆ABC. Kết quả đó còn đúng không, nếu ABC là tam giác tù (chỉ cần xét 2 trường hợp: góc A tù và góc B tù)?

c) Cho biết AB = 10 cm, BC = 15 cm và BE = 8 cm. Tính EF.

Xem đáp án » 22/07/2024 910

Câu 4:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (2x + y)2 + (5x – y)2 + 2(2x + y)(5x – y);

b) (2x – y3)(2x + y3) – (2x – y2)(4x2 + 2xy2 + y4).

Xem đáp án » 22/07/2024 700

Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi H là trung điểm của OB, K là trung điểm của OD.

a) Hỏi tứ giác AHCK là hình gì?

b) Hình bình hành ABCD phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AHCK là:

• một hình thoi?

• một hình chữ nhật?

• một hình vuông ?

Xem đáp án » 22/07/2024 639

Câu 6:

Với giá trị nào của m, đường thẳng y = mx + 1 (m ≠ 0):

a) song song với đường thẳng y = 3x?

b) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng −2?

c) đồng quy với các đường thẳng y = 5x − 2 và y = −x + 4 (tức là ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm)? Với giá trị m tìm được, hãy vẽ ba đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ để kiểm nghiệm lại kết quả.

Xem đáp án » 22/07/2024 542

Câu 7:

Cho bảng thống kê sau:

Xếp loại

Tốt

Khá

Đạt

Không đạt

Lớp Vuông

7

10

15

10

Lớp Tròn

10

15

8

9

Để so sánh số lượng học sinh ở mỗi mức xếp loại của hai lớp ta nên dùng biểu đồ nào? Hãy vẽ biểu đồ đó.

Xem đáp án » 22/07/2024 469
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua