Giải vở thực hành Toán 8 KNTT Bài tập ôn cuối năm

a) Cách 1. (2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y)

= (4x² + 4xy + y²) + (25x² – 10xy + y²) + 2(10x² – 2xy + 5xy – y²)

= 4x² + 4xy + y² + 25x² – 10xy + y² + 20x² – 4xy + 10xy – 2y²

= (4x² + 25x² + 20x²) + (4xy – 10xy – 4xy + 10xy) + (y² + y² – 2y²)

= 49x².

Cách 2. Đặt A = 2x + y và B = 5x – y, ta có:

(2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y) = A² + B² + 2AB = (A + B)².

Mặt khác A + B = 2x + y + 5x – y = 7x. Do đó (A + B)² = (7x)² = 49x².

Vậy (2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y) = 49x².

b) Biểu thức đã cho có dạng M – N, trong đó:

M = (2x – y³)(2x + y³) và N = (2x – y²)(4x² + 2xy² + y⁴).

Ta có: M = 4x² + 2xy³ – 2xy³ – y⁶ = 4x² – y⁶;

N = 8x³ + 4x²y² + 2xy⁴ – 4x²y² – 2xy⁴ – y⁶ = 8x³ – y⁶.

Do đó M – N = (4x² – y⁶) – (8x³ – y⁶) = 4x² – y⁶ – 8x³ + y⁶ = – 8x³ + 4x².

a) P = x² – y² + 6x + 9 = (x² + 6x + 9) – y²

= (x + 3)² – y² = (x + 3 – y)(x + 3 + y).

b) Kết quả của câu a là ta có đẳng thức P = (x + 3 – y)(x + 3 + y). Điều này chứng tỏ

P : (x + y + 3) = x+ y – 3.

a) f(x) = x² – 15x + 56 = x² – 7x – 8x + 56 = x(x – 7) – 8(x – 7)

= (x – 8)(x – 7).

b) f(x) = (x – 8)(x – 7) khi x – 8 = 0 hoặc x – 7 = 0, tức là khi x = 8 hoặc x = 7.

Vậy x = 8 hoặc x = 7.

a) Điều kiện xác định của phân thức là 2x³ – 18x ≠ 0. (*)

Rút gọn: \(P = \frac{{2{x^3} + 6{x^2}}}{{2{x^3} - 18x}} = \frac{{2{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {{x^2} - 9} \right)}} = \frac{{{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {{x^2} - {3^2}} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{x}{{x - 3}}.\)

b) Ta thấy x = −3 không thỏa mãn điều kiện xác định (*) nên giá trị của phân thức P tại x = −3 là không xác định.

c) Khi x = 4, điều kiện xác định (*) được thỏa mãn nên giá trị của P tại x = 4 là xác định.

Giá trị đó là \(P = \frac{4}{{4 - 3}} = \frac{4}{1} = 4.\)

d) Ta có thể viết \(P = \frac{x}{{x - 3}} = \frac{{x - 3 + 3}}{{x - 3}} = 1 + \frac{3}{{x - 3}}.\) Điều này cho thấy P nhận giá trị nguyên khi \(\frac{3}{{x - 3}}\) nhận giá trị nguyên. Muốn vậy, x – 3 phải là ước của 3.

Mà 3 chỉ có 4 ước là {−3; −1; 1; 3}. Do đó chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

• x – 3 = 1, tức là x = 4, khi đó P = 4;

• x – 3 = −1, tức là x = 2, khi đó P = −2;

• x – 3 = −3, tức là x = 0, khi đó P = 0;

• x – 3 = 3, tức là x = 6, khi đó P = 2.

Vậy các giá trị cần tìm của x là x ∈ {0; 2; 4; 6}.

a) Ta có: \(A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{\left( {1 - xy} \right)\left( {1 + xy} \right)}}\)

\( = \frac{{x + {x^2}y + x{y^2} + y + x - {x^2}y + x{y^2} - y}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{2x + 2x{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

\(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{1 - {x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{{x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} + 1}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right) + {y^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

b) Từ hai kết quả trên, ta có:

\(P = A:B = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}:\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{2x\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\frac{{1 - {x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}.\) (*)

Trong biểu thức (*), ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta thấy:

\(1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - \left( {1 - 2x + {x^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}.\)

So sánh kết quả này với (*), ta suy ra \(P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}.\)

d) Cách 1. Từ kết quả câu c, ta có: P = 1 khi \(\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = 0.\) Điều này xảy ra khi hai biến x và y xác định, tức là nếu x = 1 và x²y² – 1 ≠ 0. Vậy các giá trị của x và y để P = 1 là x = 1 và y² ≠ 1 hay \(y \ne \pm 1.\)

Cách 2. Từ (*) ta có (với điều kiện x²y² – 1 ≠ 0): \(P = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} = 1,\) hay 2x = 1 + x², tức là (x – 1)² = 0, hay x = 1.

a) Số tiền phải trả khi di chuyển 1 km đầu là 10 000 đồng.

Số tiền phải trả khi di chuyển 30 km tiếp theo là 30.13600 = 408 000 (đồng).

Số tiền phải trả khi di chuyển 4 km cuối là 4.11 000 = 44 000 (đồng).

Vậy số tiền phải trả cho 35 km là:

10 000 + 408 000 + 44 000 = 462 000 (đồng).

b) Vì 1 < x  ≤ 30 nên số tiền trả cho quãng đường x kilomet gồm 2 phần: Phần thứ nhất là giá mở cửa 10 000 đồng, phần thứ hai là trả cho quãng đường x – 1 km tiếp theo. Công thức tính cần tìm là 10 000 + 13 600(x – 1), hay 13 600x –  3 600, với 1 < x  ≤ 30. (*)

Áp dụng (*): Nếu người đó di chuyển 30 km thì số tiền phải trả là

13 600.30 – 3 600 = 404 400 (đồng).

c) Do số tiền đã trả cho taxi là 268 400, ít hơn 404 400 đồng, nên quãng đường đã di chuyển không quá 30 km. Vậy để tính quãng đường này, ta có thể dùng công thức (*).

13 600x – 3 600 = 268 400, hay 13 600x = 268 400 + 3 600 = 272 200, tức là \(x = \frac{{272000}}{{13600}} = 20\) (km).