Giải vở thực hành Toán 8 KNTT Bài tập ôn cuối năm

a) Cách 1. (2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y)

= (4x² + 4xy + y²) + (25x² – 10xy + y²) + 2(10x² – 2xy + 5xy – y²)

= 4x² + 4xy + y² + 25x² – 10xy + y² + 20x² – 4xy + 10xy – 2y²

= (4x² + 25x² + 20x²) + (4xy – 10xy – 4xy + 10xy) + (y² + y² – 2y²)

= 49x².

Cách 2. Đặt A = 2x + y và B = 5x – y, ta có:

(2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y) = A² + B² + 2AB = (A + B)².

Mặt khác A + B = 2x + y + 5x – y = 7x. Do đó (A + B)² = (7x)² = 49x².

Vậy (2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y) = 49x².

b) Biểu thức đã cho có dạng M – N, trong đó:

M = (2x – y³)(2x + y³) và N = (2x – y²)(4x² + 2xy² + y⁴).

Ta có: M = 4x² + 2xy³ – 2xy³ – y⁶ = 4x² – y⁶;

N = 8x³ + 4x²y² + 2xy⁴ – 4x²y² – 2xy⁴ – y⁶ = 8x³ – y⁶.

Do đó M – N = (4x² – y⁶) – (8x³ – y⁶) = 4x² – y⁶ – 8x³ + y⁶ = – 8x³ + 4x².

a) P = x² – y² + 6x + 9 = (x² + 6x + 9) – y²

= (x + 3)² – y² = (x + 3 – y)(x + 3 + y).

b) Kết quả của câu a là ta có đẳng thức P = (x + 3 – y)(x + 3 + y). Điều này chứng tỏ

P : (x + y + 3) = x+ y – 3.

a) f(x) = x² – 15x + 56 = x² – 7x – 8x + 56 = x(x – 7) – 8(x – 7)

= (x – 8)(x – 7).

b) f(x) = (x – 8)(x – 7) khi x – 8 = 0 hoặc x – 7 = 0, tức là khi x = 8 hoặc x = 7.

Vậy x = 8 hoặc x = 7.

a) Điều kiện xác định của phân thức là 2x³ – 18x ≠ 0. (*)

Rút gọn: \(P = \frac{{2{x^3} + 6{x^2}}}{{2{x^3} - 18x}} = \frac{{2{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {{x^2} - 9} \right)}} = \frac{{{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {{x^2} - {3^2}} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2}\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{x}{{x - 3}}.\)

b) Ta thấy x = −3 không thỏa mãn điều kiện xác định (*) nên giá trị của phân thức P tại x = −3 là không xác định.

c) Khi x = 4, điều kiện xác định (*) được thỏa mãn nên giá trị của P tại x = 4 là xác định.

Giá trị đó là \(P = \frac{4}{{4 - 3}} = \frac{4}{1} = 4.\)

d) Ta có thể viết \(P = \frac{x}{{x - 3}} = \frac{{x - 3 + 3}}{{x - 3}} = 1 + \frac{3}{{x - 3}}.\) Điều này cho thấy P nhận giá trị nguyên khi \(\frac{3}{{x - 3}}\) nhận giá trị nguyên. Muốn vậy, x – 3 phải là ước của 3.

Mà 3 chỉ có 4 ước là {−3; −1; 1; 3}. Do đó chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

• x – 3 = 1, tức là x = 4, khi đó P = 4;

• x – 3 = −1, tức là x = 2, khi đó P = −2;

• x – 3 = −3, tức là x = 0, khi đó P = 0;

• x – 3 = 3, tức là x = 6, khi đó P = 2.

Vậy các giá trị cần tìm của x là x ∈ {0; 2; 4; 6}.

a) Ta có: \(A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {1 - xy} \right)}}{{\left( {1 - xy} \right)\left( {1 + xy} \right)}}\)

\( = \frac{{x + {x^2}y + x{y^2} + y + x - {x^2}y + x{y^2} - y}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{2x + 2x{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

\(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{1 - {x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{{x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2} + 1}}{{1 - {x^2}{y^2}}} = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right) + {y^2}\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

b) Từ hai kết quả trên, ta có:

\(P = A:B = \frac{{2x\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}:\frac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}\)

\( = \frac{{2x\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\frac{{1 - {x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}.\) (*)

Trong biểu thức (*), ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta thấy:

\(1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - \left( {1 - 2x + {x^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}.\)

So sánh kết quả này với (*), ta suy ra \(P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}.\)

d) Cách 1. Từ kết quả câu c, ta có: P = 1 khi \(\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}} = 0.\) Điều này xảy ra khi hai biến x và y xác định, tức là nếu x = 1 và x²y² – 1 ≠ 0. Vậy các giá trị của x và y để P = 1 là x = 1 và y² ≠ 1 hay \(y \ne \pm 1.\)

Cách 2. Từ (*) ta có (với điều kiện x²y² – 1 ≠ 0): \(P = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} = 1,\) hay 2x = 1 + x², tức là (x – 1)² = 0, hay x = 1.