Hình sau mô tả một dụng cụ đo bề dày (nhỏ hơn 1 cm) của một số sản phẩm. Dụng cụ này gồm một thước AC = 10 cm, có vạch chia đến 1 mm, gắn với một bản kim loại có cạnh thẳng AB sao cho khoảng cách BC = 1 cm.

Muốn đo bề dày của vật, ta kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước (đáy của vật áp vào bề mặt của thước AC). Khi đó trên thước ta đọc được “bề dày” d của vật (trên hình vẽ ta có d = 5,5 mm). Hãy giải thích tại sao với dụng cụ đó, ta có thể đo được bề dày d của các vật (với d < 10 mm).

a) Do BE là đường phân giác của góc B nên \({\widehat B_1} = {\widehat B_2},\) ta có: \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) (1).

Tương tự với đường phân giác CF, ta có: \(\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{CA}}{{CB}}.\) (2)

Bởi vậy, từ (1) và (2) ta suy ra \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{FA}}{{FB}},\) nghĩa là EF định ra trên hai cạnh AB và AC những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Do đó theo định lí Thàles đảo ta có EF // BC. Từ đó suy ra ∆BIC ᔕ ∆EIF (ĐPCM).

b) Hai tam giác BFI và CFB có \(\widehat F\) chung, \({\widehat B_1} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \widehat C{ & _2}.\) Do đó ∆BFI ᔕ ∆CFB suy ra \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{FI}}{{FB}}\) hay FB² = FI.FC (ĐPCM).

c) Ta có EF // BC (chứng minh trên).

Do đó \(\frac{{BC}}{{EF}} = \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{\left( {AF + FB} \right)}}{{AF}} = 1 + \frac{{BC}}{{AC}} = 1 + \frac{3}{6} = \frac{3}{2}.\)

Từ đó suy ra \(EF = 3:\frac{3}{2} = 2\) (cm).

Vậy EF = 2 cm.

a) Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.

Do H và K lần lượt là trung điểm của OB và OD nên \(OH = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OD}}{2} = OK.\)

Các kết quả trên cho thấy tứ giác AHCK có hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) • Muốn tứ giác AHCK là hình thoi, ta cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và HK vuông góc với nhau, cũng có nghĩa là AC ⊥ BD. Điều này xảy ra khi ABCD là hình thoi. Vậy điều kiện để tứ giác AHCK là hình thoi là: tứ giác ABCD là hình thoi.

• Muốn tứ giác AHCK là hình chữ nhật, ta cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và HK bằng nhau, tức là AC = HK. Do H và K lần lượt là trung điểm của OB và OD nên điều kiện đó cũng có nghĩa là \(AC = \frac{1}{2}BD.\) Vậy điều kiện để tứ giác AHCK là hình chữ nhật là: ABCD có đường chéo BD dài gấp 2 lần đường chéo AC.

• Tứ giác AHCK là hình vuông khi nó vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật. Do đó, theo kết quả hai câu trên, để AHCK là một hình vuông, thì hình bình hành ABCD phải là hình thoi, đường chéo BD dài gấp 2 lần đường chéo AC.